ریاضیات

معادلهٔ موج صوتی دوبعدی

در امواج صوتی دوبعدی، صدا در یک صفحه (مثلاً روی پردهٔ طبل یا سطح آب) منتشر می‌شود. در این حالت، تغییرات فشار صوتی در دو راستا (x و y) در نظر گرفته می‌شود.

۱. معادلهٔ موج دوبعدی

∂²p/∂x² + ∂²p/∂y² = (1/c²) ∂²p/∂t²

• p(x, y, t): فشار صوتی در نقطه (x, y) و زمان t
• c: سرعت صوت در محیط

۲. شکل موج دوبعدی

p(x, y, t) = A sin(kₓx + kyy - ωt)

• A : دامنه موج
• kₓ, ky : مؤلفه‌های عدد موج در راستاهای x و y
• ω : فرکانس زاویه‌ای

۳. معادله در مختصات قطبی (دایره‌ای)

(1/r) ∂/∂r (r ∂p/∂r) + (1/r²) ∂²p/∂θ² = (1/c²) ∂²p/∂t²

اگر موج فقط به فاصله r وابسته باشد (موج دایره‌ای):

p(r, t) = (A / √r) sin(kr - ωt)

شدت صدا با فاصله به‌صورت

۱/√r

کاهش می‌یابد.

۴. مثال‌های واقعی از امواج دوبعدی

• پردهٔ طبل یا دف → انتشار موج در دو جهت و تشکیل گره‌ها و شکم‌ها
• سطح آب → دایره‌های متناوب فشار از نقطهٔ ضربه
• انتشار صدا روی سطح زمین یا دیوار صاف

۵. نکات مهم

• شدت موج دوبعدی با فاصله کمتر کاهش می‌یابد نسبت به موج سه‌بعدی.
• در سطح‌های بسته (مثل طبل) الگوهای نرمال و تداخل تشکیل می‌شود.
• برای حل دقیق‌تر، از توابع بسل (Bessel) و روش‌های عددی استفاده می‌شود.

معادلهٔ موج دوبعدی پایهٔ تحلیل آکوستیک سطحی و بررسی الگوهای صدا در پرده‌ها و صفحات نازک است.