ریاضیات

خلاصه‌ای از لاگرانژی میدان الکترومغناطیسی

در سطح میکروسکوپی، رفتار میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی را می‌توان با یک چگالی لاگرانژی توصیف کرد. این فرمول نه تنها انرژی میدان‌ها را در بر می‌گیرد، بلکه برهم‌کنش آن‌ها با بارها و جریان‌ها را نیز مشخص می‌کند.

۱. تعریف لاگرانژی میدان

چگالی لاگرانژی میدان الکترومغناطیسی به صورت خلاصه نوشته می‌شود:

ℒ = (ε₀/2)E² − (1/2μ₀)B² − ρφ + J·A

چهار جملهٔ آن به ترتیب نشان‌دهندهٔ انرژی میدان الکتریکی، میدان مغناطیسی، و برهم‌کنش‌های بار و جریان با پتانسیل‌ها هستند.

۲. استخراج معادلات ماکسول

با اعمال اصل کمترین کنش روی ℒ و گرفتن تغییرات نسبت به پتانسیل‌های φ و A، مستقیماً دو معادلهٔ اصلی ماکسول به‌دست می‌آیند:

• ∇·E = ρ/ε₀
• ∇×B − μ₀ε₀ ∂E/∂t = μ₀J

دو معادلهٔ دیگر

(∇·B = 0 و ∇×E = −∂B/∂t)

از تعریف میدان‌ها به‌طور خودکار حاصل می‌شوند.

۳. ذرهٔ باردار در میدان

برای ذره‌ای با جرم m و بار q، لاگرانژی ساده‌تر است:

L = ½ m v² − qφ + q v·A

از معادلهٔ اویلر–لاگرانژ نیروی لورنتس به‌دست می‌آید:

m dv/dt = q(E + v×B)

۴. اهمیت فیزیکی

• در سطح میکروسکوپی، معادلات ماکسول نتیجهٔ مستقیم یک لاگرانژی واحد هستند.
• همین ساختار پایهٔ نظریه‌های مدرن‌تر مانند الکترودینامیک کوانتومی است.
• لاگرانژی میدان، تقارن‌های گِیج و قوانین پایستگی را آشکار می‌سازد.

بنابراین، در نگاه میکروسکوپی، لاگرانژی میدان الکترومغناطیسی زیربنای تمام رفتارهای الکتریکی و مغناطیسی است — از نیروی لورنتس تا معادلات ماکسول.