ریاضیات

مشخصات مدار

• القاگر: L = 0.5 H
• خازن: C = 20 μF
• منبع AC: V(t) = V₀ sin(ω t)
• بار اولیه: q(0) = 0
• جریان اولیه: i(0) = 0

۱. لاگرانژی مدار

L = ½ L (dq/dt)² − ½ q² / C + q V(t)

۲. معادله اویلر–لاگرانژ

d/dt(∂L/∂(dq/dt)) − ∂L/∂q = 0 → L d²q/dt² + q/C = V(t)

۳. حل معادله

q(t) = q_hom + q_part

q_hom = A cos(ω₀ t) + B sin(ω₀ t),

ω₀ = 1/√(LC) ≈ 223.6 rad/s

q_part = V₀ / [L (ω₀² − ω²)] sin(ω t)

۴. نکات مهم

• لاگرانژی امکان نوشتن مستقیم معادلات مدار تحریکی را فراهم می‌کند.
• در مدارهای AC چند شاخه، هر شاخه با مختصه تعمیم‌یافته مدل می‌شود.
• روش لاگرانژی برای تحلیل پاسخ فرکانسی و بررسی نوسانات steady-state مناسب است.