ریاضیات

مثال کاربردی: مدار LC با روش لاگرانژی

مشخصات مدار

• القاگر: L = 0.5 H
• خازن: C = 20 μF
• بار اولیه روی خازن: q₀ = 1 mC
• جریان اولیه: i₀ = 0

۱. لاگرانژی مدار

L = ½ L (dq/dt)² − ½ q² / C

۲. معادلهٔ اویلر–لاگرانژ

L (d²q/dt²) + q / C = 0

۳. حل معادله و نوسانات

فرکانس زاویه‌ای:

ω = 1 / √(LC) ≈ 316.2 rad/s

بار روی خازن به صورت تابع زمان:

q(t) = q₀ cos(ω t) = 0.001 cos(316.2 t) C

جریان در مدار:

i(t) = dq/dt = - q₀ ω sin(ω t) ≈ -0.316 sin(316.2 t) A

۴. نکات مهم

• با روش لاگرانژی می‌توان به راحتی معادلهٔ نوسانگر مدار را استخراج کرد.
• در مدارهای پیچیده چند LC، همین روش با مختصه‌های تعمیم‌یافته متعدد قابل استفاده است.
• اگر مقاومت وجود داشته باشد، می‌توان از تابع میرایی ریلی استفاده کرد.