ریاضیات

فنر مورب با زاویه ۱۵۰ درجه نسبت به افق — تحلیل لاگرانژی

در این مدل، فنری با زاویه θ = ۱۵۰° نسبت به محور افق قرار دارد و انتهای آن به جرمی m متصل است. تحلیل شامل نیروهای مؤلفه‌ای، انرژی‌ها و معادلات حرکت با روش لاگرانژی (به افتخار ژوزف لویی لاگرانژ) انجام می‌شود.

۱. مختصات و تغییر طول فنر

فنر یک سرش به نقطهٔ ثابت متصل است و سر دیگر به جرم. طول طبیعی فنر L₀ و طول لحظه‌ای آن L است. تغییر طول فنر:

ΔL = L − L₀ ,  L = √(x² + y²)

که x و y مختصات جرم نسبت به نقطه اتصال هستند.

۲. انرژی جنبشی

T = ½ m (ẋ² + ẏ²)

۳. انرژی پتانسیل فنر و گرانش

V = ½ k (L − L₀)² + m g y

۴. لاگرانژی سیستم

L = T − V = ½ m (ẋ² + ẏ²) − ½ k (√(x² + y²) − L₀)² − m g y

۵. معادلات اویلر–لاگرانژ

d/dt(∂L/∂ẋ) − ∂L/∂x = 0 ,

  d/dt(∂L/∂ẏ) − ∂L/∂y = 0

مشتقات به صورت زیر هستند:

∂L/∂x = −k (1 − L₀/L) x ,

 ∂L/∂ẋ = m ẋ

∂L/∂y = −k (1 − L₀/L) y − m g , 

 ∂L/∂ẏ = m ẏ

در نتیجه معادلات حرکت:

m ẍ = −k (1 − L₀/L) x

m ÿ = −k (1 − L₀/L) y − m g

۶. حالت تعادل زاویه ۱۵۰°

در حالت تعادل، شتاب‌ها صفر و نیروهای مؤلفه‌ای وزن و فنر برابرند. مؤلفه‌ها در راستای فنر و عمود بر آن:

T sin(150°) = m g ⟹ T = 2 m g / sin(150°) = 2 m g

کشیدگی فنر در تعادل:

ΔL = T / k = (2 m g) / k

۷. نوسانات کوچک حول تعادل

برای نوسانات کوچک، مؤلفه‌ها تقریباً مستقل هستند و نوسان در راستای فنر مشابه نوسانگر هماهنگ ساده است:

m ξ̈ + k ξ = 0 ,  ω = √(k/m)

۸. نکات فیزیکی

• زاویه ۱۵۰° باعث می‌شود فنر به سمت چپ و بالا متمایل باشد.
• در نوسانات کوچک، زاویه تنها بر تعادل اولیه تأثیر دارد، نه بر فرکانس نوسان.
• اگر میرایی وجود داشته باشد، نیروهای اضافی به شکل cẋ و cẏ ظاهر می‌شوند.

۹. جمع‌بندی

L = ½ m (ẋ² + ẏ²) − ½ k (√(x² + y²) − L₀)² − m g y

این سیستم نمونه‌ای از نوسانگر دو بعدی با فنر مورب است که می‌توان نیروهای مؤلفه‌ای و تعادل زاویه‌ای آن را دقیق تحلیل کرد.