ریاضیات

فنر مورب با زاویه ۳۰ درجه نسبت به افق — تحلیل لاگرانژی

در این مدل، یک فنر با زاویه θ = ۳۰° نسبت به محور افق قرار دارد و انتهای آن به جرمی m متصل است. تحلیل شامل نیروهای مؤلفه‌ای، انرژی‌ها و معادلات حرکت با روش لاگرانژی (به افتخار ژوزف لویی لاگرانژ) است.

۱. مختصات و تغییر طول فنر

فنر یک سرش به نقطهٔ ثابت متصل است و سر دیگر به جرم. طول طبیعی فنر L₀ و طول لحظه‌ای آن L است. تغییر طول:

ΔL = L − L₀ ,  L = √(x² + y²)

که x و y مختصات جرم نسبت به نقطه اتصال هستند.

۲. انرژی جنبشی

T = ½ m (ẋ² + ẏ²)

۳. انرژی پتانسیل فنر و گرانش

V = ½ k (L − L₀)² + m g y

۴. لاگرانژی سیستم

L = T − V = ½ m (ẋ² + ẏ²) − ½ k (√(x² + y²) − L₀)² − m g y

۵. معادلات اویلر–لاگرانژ

d/dt(∂L/∂ẋ) − ∂L/∂x = 0 , 

 d/dt(∂L/∂ẏ) − ∂L/∂y = 0

مشتقات به صورت زیر هستند:

∂L/∂x = −k (1 − L₀/L) x , 

 ∂L/∂ẋ = m ẋ

∂L/∂y = −k (1 − L₀/L) y − m g , 

 ∂L/∂ẏ = m ẏ

در نتیجه معادلات حرکت:

m ẍ = −k (1 − L₀/L) x

m ÿ = −k (1 − L₀/L) y − m g

۶. حالت تعادل زاویه ۳۰°

در حالت تعادل، شتاب‌ها صفر و نیروهای مؤلفه‌ای وزن و فنر برابرند:

T sin30° = m g ⟹ T = 2 m g

و کشیدگی فنر در حالت تعادل:

ΔL = 2 m g / k

۷. نوسانات کوچک حول تعادل

در نوسانات کوچک، مؤلفه‌ها تقریباً مستقل هستند و معادلهٔ نوسان در راستای فنر به شکل:

m ξ̈ + k ξ = 0 , 

 ω = √(k/m)

۸. نکات فیزیکی

• وزن جرم در راستاهای موازی و عمود بر فنر مؤلفه ایجاد می‌کند.
• زاویهٔ ۳۰° باعث می‌شود طول تعادلی فنر بیشتر از حالت افقی باشد.
• در نوسانات کوچک، فرکانس تقریباً مانند نوسانگر هماهنگ ساده است.
• در صورت وجود میرایی، جملهٔ cẋ یا cẏ به معادلات اضافه می‌شود.

۹. جمع‌بندی

L = ½ m (ẋ² + ẏ²) − ½ k (√(x² + y²) − L₀)² − m g y

این سیستم نمونه‌ای از نوسانگر دو بعدی با فنر مورب است که نیروهای مؤلفه‌ای و تعادل زاویه‌ای به خوبی در آن قابل تحلیل هستند.