فنر عمودی — تحلیل لاگرانژی نوسان قائم
در این بخش، سیستم سادهای شامل یک جرم m آویزان از یک فنر عمودی با ثابت فنری k را بررسی میکنیم. این مدل از پایهایترین مثالها در فیزیک و مکانیک تحلیلی است و بر پایهٔ روش لاگرانژی (به افتخار ژوزف لویی لاگرانژ) تحلیل میشود.
۱. توصیف سیستم
فنر به سقف وصل است و جرم m از انتهای آن آویزان است. طول طبیعی فنر را L₀ مینامیم و اگر جرم در حالت تعادل تحت اثر وزن خود کش بیاید، طول تعادلی برابر است با:
k ΔL = m g ⟹ ΔL = (m g)/k
۲. مختصهٔ تعمیمیافته
مختصهٔ تعمیمیافته را y در راستای قائم (به سمت پایین) انتخاب میکنیم. نقطهٔ مرجع در محل تعادل قرار دارد، بنابراین وقتی جرم نوسان کند، جابهجایی لحظهای برابر y است.
۳. انرژیها
انرژی جنبشی:
T = ½ m ẏ²
انرژی پتانسیل گرانشی و فنری (با در نظر گرفتن مبدا در حالت تعادل):
V = ½ k y²
زیرا اثر وزن با انتخاب مبدا در نقطهٔ تعادل حذف شده است.
۴. لاگرانژی
L = T − V = ½ m ẏ² − ½ k y²
۵. معادلهٔ اویلر–لاگرانژ
d/dt (∂L/∂ẏ) − ∂L/∂y = 0 ⟹ m ÿ + k y = 0
که همان معادلهٔ نوسانگر هماهنگ ساده در راستای قائم است.
۶. حل عمومی
y(t) = A cos(ω t + φ) , ω = √(k/m)
در اینجا A دامنه و φ فاز اولیهٔ نوساناند.
۷. مثال عددی
فرض کنید m = 0.5 kg و k = 20 N/m:
ω = √(20 / 0.5) = √40 ≈ 6.32 rad/s
T = 2π / ω ≈ 0.995 s
پس جرم با دورهٔ حدود یک ثانیه نوسان میکند.
۸. نکات فیزیکی
- در این تحلیل مقاومت هوا نادیده گرفته شده است.
- اگر اصطکاک یا میرایی وجود داشته باشد، جملهٔ c ẏ به معادله اضافه میشود و سیستم نوسان میرا میشود.
- اگر جرم به انتهای فنر افقی متصل شود، مشابه همین روابط در راستای افقی برقرار است (بدون نیروی وزن).
۹. جمعبندی
L = ½ m ẏ² − ½ k y² ⟹ m ÿ + k y = 0
فنر عمودی نمونهای کلاسیک از نوسانگر هماهنگ است که هم در آزمایشگاههای فیزیک و هم در مدلهای مهندسی پایهای مورد استفاده قرار میگیرد.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.