ریاضیات

چهار فنر روی اضلاع — مدل یک چهارضلعی با فنر در هر ضلع

در این صفحه یک آرایش سادهٔ چهار جرم را که در رئوس یک چهارسطح (مستطیل یا مربع) قرار دارند و هر ضلع یک فنر دارد بررسی می‌کنیم. تحلیل با روش لاگرانژی انجام می‌شود (نام لاگرانژی به افتخار ژوزف لویی لاگرانژ). هدف نوشتن لاگرانژی، استخراج معادلات حرکت و خطی‌سازی برای نوسانات کوچک است.

شرح هندسی سیستم

چهار ذره با جرم‌های مساوی \(m\) در رئوس چهارسطح قرار دارند. هر ضلع بین ذره‌های مجاور یک فنر با ثابت \(k\) و طول طبیعی \(L_0\) دارد. مختصات ذرات را \(\mathbf{r}_i=(x_i,y_i)\) برای \(i=1,\dots,4\) می‌گیریم (ترتیب رئوس به‌صورت دوری انتخاب می‌شود).

انرژی جنبشی

\(T=\sum_{i=1}^{4}\dfrac{1}{2}m\dot{\mathbf{r}}_i\cdot\dot{\mathbf{r}}_i

=\dfrac{1}{2}m\sum_{i=1}^4(\dot{x}_i^2+\dot{y}_i^2)\)

انرژی پتانسیل (مجموع انرژی فنرها)

اگر فاصله بین ذره‌های مجاور \(i\) و \(j\) را \(d_{ij}=|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j|\) بنامیم (جفت‌های ضلع‌ها: (1,2),(2,3),(3,4),(4,1)) آنگاه انرژی پتانسیل کل:

\(V=\tfrac{1}{2}k\sum_{\langle i,j\rangle \in \text{edges}}(d_{ij}-L_0)^2\)

لاگرانژی سیستم

\(L=T-V=\dfrac{1}{2}m\sum_{i=1}^4(\dot{x}_i^2+\dot{y}_i^2)\;-\;

\tfrac{1}{2}k\sum_{\langle i,j\rangle}(d_{ij}-L_0)^2\)

معادلات اویلر–لاگرانژ

برای هر مختصه \(x_i\) و \(y_i\):

\(m\ddot{x}_i + \dfrac{\partial V}{\partial x_i}=0,\qquad

m\ddot{y}_i + \dfrac{\partial V}{\partial y_i}=0\quad (i=1,\dots,4)\)

مثال برای مشتق نسبت به \(x_1\):

\(\dfrac{\partial V}{\partial x_1}

= k\Big[(1-\dfrac{L_0}{d_{12}})(x_1-x_2) + (1-\dfrac{L_0}{d_{41}})(x_1-x_4)\Big]\)

خطی‌سازی برای نوسانات کوچک

برای نوسانات کوچک حول حالت تعادل (مثلاً مربع یا مستطیل با اضلاع \(L_0\)) جا‌به‌جایی‌ کوچک \(\delta x_i,\delta y_i\) را در نظر گرفته و تا مرتبهٔ دوم بسط می‌کنیم. انرژی پتانسیل خطی‌شده به فرم ماتریسی است:

\(V_{\text{خطی}} \approx \tfrac{1}{2}\mathbf{u}^\top K \mathbf{u}\)

که \(\mathbf{u}=(\delta x_1,\delta y_1,\dots,\delta x_4,\delta y_4)^\top\) بردار ابعادی \(8\times1\) و \(K\) ماتریس سختی \(8\times8\) است. ماتریس جرم نیز \(M=m I_{8\times8}\).

معادلات خطی حرکت و مسئله ویژه

\(M\ddot{\mathbf{u}} + K\mathbf{u} = 0 \quad\Longrightarrow\quad (K - \omega^2 M)\mathbf{v}=0\)

با حل مسئلهٔ ویژه \(\det(K-\omega^2 M)=0\) مقادیر ویژه \(\omega^2\) و بردارهای ویژه (حالت‌های مد) به‌دست می‌آیند.

حالت‌های حرکتی و تعدادی نکته

• برای سیستم آزاد (بدون تکیه‌گاه) سه حالت جبری وجود دارد: دو جابجایی یکنوا و یک چرخش صفحه‌ای (فرکانس صفر). بقیهٔ حالت‌ها حالت‌های نوسانی داخلی‌اند.
• در صورت رسم مربع متساوی‌الاضلاع و k مساوی برای همه اضلاع، تقارن مسئله باعث تقسیم بندهای مدی (مثل مدهای متقارن و نامتقارن) می‌شود.
• اگر قطرها هم فنر داشته باشند یا گوشه‌ها به تکیه‌گاه وصل باشند، ماتریس K تغییر کرده و حالت‌های صفر حذف می‌شوند یا جابه‌جا می‌گردند.

مثال عددی ساده

فرض کن مربع با طول ضلع \(L_0=1\) m، m=1 kg و k=100 N/m. می‌توان ماتریس K را با مشتقات دوم انرژی پتانسیل نسبت به مؤلفه‌ها ساخت و سپس با حل عددی (مثلاً با Python/NumPy) فرکانس‌ها را محاسبه کرد. معمولاً اولین سه مقدار ویژه نزدیک صفر خواهند بود (حالت‌های صلب).

گزینه‌های توسعه

• می‌توانم برایت یک شکل SVG شماتیک از چهارضلعی و فنرها بسازم و داخل HTML قرار دهم.
• می‌توانم کد Python (NumPy) برای ساخت ماتریس K و محاسبهٔ مقادیر ویژه / بردارهای ویژه ایجاد کنم و خروجی جدول/نمودار فرکانس‌ها ارائه دهم.
• اگر خواستی، حالت‌هایی با فنرهای قطر (cross springs) یا با میرایی/نیروی خارجی را هم اضافه کنم.

اگر مایل باشی، نسخهٔ نهاییٔ HTML را همراه با MathJax برای رندر زیباتر معادلات و یک تصویر SVG و یا نمونهٔ کد عددی برای اجرا در دستگاه خودت آماده می‌کنم — بگو کدام یک را می‌خواهی تا همین‌جا برایت بسازم.

```1