ریاضیات

سه فنر به شکل مثلثی — مدل و معادلات لاگرانژی

در این صفحه یک آرایش سادهٔ سه نقطهٔ جرمی را که از طریق سه فنر روی اضلاع یک مثلث به هم متصل‌اند بررسی می‌کنیم. این تحلیل مبتنی بر روش لاگرانژی (نام‌گذاری‌شده به افتخار ژوزف لویی لاگرانژ) است.

شرح سیستم

سه ذره با جرم‌های یکسان \(m\) در رئوس مثلث قرار دارند. هر ضلع مثلث یک فنر با ثابت سختی \(k\) و طول طبیعی \(L_0\) دارد. مختصات هر ذره را در صفحه دوبعدی با بردار \(\mathbf{r}_i=(x_i,y_i)\) نشان می‌دهیم (برای \(i=1,2,3\)). هدف نوشتن لاگرانژی و استخراج معادلات حرکت است.

انرژی جنبشی

\(T=\sum_{i=1}^3 \dfrac{1}{2} m \dot{\mathbf{r}}_i\cdot\dot{\mathbf{r}}_i

=\dfrac{1}{2}m\sum_{i=1}^3 (\dot{x}_i^2+\dot{y}_i^2)\)

انرژی پتانسیل (مجموع انرژی فنرها)

اگر فواصل بین ذرات \(i\) و \(j\) را \(d_{ij}=|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j|\) بنامیم، انرژی پتانسیل کلی برابر است با جمع انرژی سه فنر:

\(V=\tfrac{1}{2}k\big[(d_{12}-L_0)^2+(d_{23}-L_0)^2+(d_{31}-L_0)^2\]\)

لاگرانژی

\(L=T-V=\dfrac{1}{2}m\sum_{i=1}^3 (\dot{x}_i^2+\dot{y}_i^2)\;-\;

\tfrac{1}{2}k\sum_{\langle i,j\rangle}(d_{ij}-L_0)^2\)

معادلات اویلر–لاگرانژ

برای هر مختصه \(x_i\) و \(y_i\) معادله اویلر–لاگرانژ را می‌نویسیم:

\(m\ddot{x}_i + \dfrac{\partial V}{\partial x_i}=0,\qquad

m\ddot{y}_i + \dfrac{\partial V}{\partial y_i}=0\quad (i=1,2,3)\)

مثلاً مشتق مؤلفهٔ \(x_1\) از انرژی پتانسیل (برای جفت \(1\!-\!2\) و \(1\!-\!3\)) به صورت زیر است:

\(\dfrac{\partial V}{\partial x_1}

= k\Big[(1-\dfrac{L_0}{d_{12}})(x_1-x_2) + (1-\dfrac{L_0}{d_{31}})(x_1-x_3)\Big]\)

و مشابه برای سایر مختصات.

خطی‌سازی برای نوسانات کوچک (تقریب کوچک)

برای تحلیل نوسانات کوچک حول حالت تعادل، طول هر ضلع را برابر \(L_0\) فرض می‌کنیم (حالت تعادل مثلث متساوی‌الاضلاع با طول \(L_0\)). با فرض جابجایی‌های کوچک \(\delta x_i,\delta y_i\) و خطی‌سازی، می‌توان انرژی پتانسیل را تا مرتبهٔ دوم بسط داد و ماتریس سختی (stiffness matrix) را به‌دست آورد.

V_{\text{خطی‌شده}} \approx \tfrac{1}{2}\mathbf{u}^\top K \mathbf{u}

که در آن \(\mathbf{u}=(\delta x_1,\delta y_1,\delta x_2,\delta y_2,\delta x_3,\delta y_3)^\top\) بردار تغییر مکان‌ها و \(K\) ماتریس اندازهٔ \(6\times6\) سختی خطی‌شده است. معادلات خطی حرکت:

\(M\ddot{\mathbf{u}} + K\mathbf{u} = 0\)

در اینجا \(M=m I_{6\times6}\) ماتریس جرم (برای جرم‌های یکسان) است.

حالت‌های مد و فرکانس‌ها

برای یافتن فرکانس‌های طبیعی (حالت‌های مد)، مسئلهٔ ویژه را حل می‌کنیم:

\(\det(K - \omega^2 M)=0\)

این معادله مقادیر \(\omega^2\) و به تبع آن \(\omega\) (فرکانس‌های زاویه‌ای) را می‌دهد. هر مقدار ویژه یک حالت نوسانی مستقل (mode shape) دارد.

مثال عددی ساده (تقریبی)

اگر m=1 kg، k=100 N/m و مثلث متساوی‌الاضلاع با طول \(L_0=1\) m باشد، می‌توان با محاسبهٔ ماتریس K (با استفاده از مشتقات دوم V نسبت به مؤلفه‌ها) و حل مسئلهٔ ویژه، فرکانس‌ها را یافت. (محاسبات عددی را می‌توان با نرم‌افزارهای عددی مانند MATLAB یا Python انجام داد.)

نکته‌های فیزیکی

• سه حالت سهمیهٔ (rigid-body) وجود دارد: دو جابجایی صفحه‌ای کلی و یک چرخشی — این حالت‌ها فرکانس صفر می‌دهند (در صورت نداشتن تکیه‌گاه ثابت).
• بقیهٔ مقادیر ویژه مربوط به نوسانات داخلی (متقارن و نامتقارن) خواهند بود.
• اگر یکی از رئوس به زمین متصل یا فنری به تکیه‌گاه داشته باشد، حالت‌های صفر حذف شده و ماتریس K تغییر می‌کند.

اگر مایل باشی، برایت نسخهٔ HTML آمادهٔ بلاگفا با معادلات رندرشده توسط MathJax، یک شکل SVG شماتیک از مثلث، و همچنین کد Python (NumPy) برای ساخت ماتریس K و محاسبهٔ فرکانس‌ها می‌سازم. دوست داری من نمونهٔ کد و شکل را هم اضافه کنم؟

```1