ریاضیات

دو فنر متوالی — تحلیل و لاگرانژی

در این صفحه حالت دو فنر متوالی (سری) که به یک جرم متصل‌اند را بررسی می‌کنیم، لاگرانژی سیستم را می‌نویسیم و ثابت فنر مؤثر را به‌دست می‌آوریم. (نام لاگرانژی از ژوزف لویی لاگرانژ گرفته شده است.)

شرح سیستم

دو فنر با ثابت‌های کشسانی k₁ و k₂ به صورت سری به هم متصل‌اند و یک سر سیستم به جرم m وصل است و سر دیگر به نقطهٔ ثابت (دیواره) متصل است. وقتی جرم جابه‌جا شود، تغییر طول کلی برابر مجموع تغییر طول هر فنر است؛ اما نیروی یکسانی در هر دو فنر برقرار است.

ثابت فنر مؤثر (keff)

برای فنرهای سری رابطهٔ معادل به صورت زیر است:

1 / keff = 1 / k₁ + 1 / k₂

که معادل آن:

keff = (k₁ · k₂) / (k₁ + k₂)

انرژی‌ها و لاگرانژی

انرژی جنبشی جرم:

T = ½ m ẋ²

انرژی پتانسیل کل (مجموع انرژی دو فنر):

V = ½ k₁ x₁² + ½ k₂ x₂²

اگر مختصهٔ کلی جابه‌جایی جرم را x بگیریم و رابطهٔ تغییر طول‌ها را طوری مرتب کنیم که معادل با یک فنر با ثابت k_eff باشد، داریم:

V = ½ keff x²

بنابراین لاگرانژی سیستم به شکل سادهٔ زیر نوشته می‌شود:

L = T − V = ½ m ẋ² − ½ keff x²

معادله اویلر–لاگرانژ و معادله حرکت

d/dt(∂L/∂ẋ) − ∂L/∂x = 0 ⇒ m ẍ + keff x = 0

فرکانس و حل نوسان

ω = √(keff / m),  x(t) = A cos(ω t + φ)

مثال عددی

فرض کن k₁ = 30 N/m، k₂ = 20 N/m و m = 1 kg.

keff = (30 · 20) / (30 + 20) = 600 / 50 = 12 N/m

ω = √(12 / 1) = √12 ≈ 3.464 rad/s

T = 2π / ω ≈ 2π / 3.464 ≈ 1.813 s

اگر

x(0)=0.05 m و ẋ(0)=0، آنگاه x(t)=0.05 cos(3.464 t).

مقایسه سری و موازی

• در حالت موازی: keff = k₁ + k₂ (سختی افزایش می‌یابد).
• در حالت سری (همین حالت):

keff = (k₁ k₂)/(k₁ + k₂) (سختی کاهش می‌یابد نسبت به هر فنر تکی در اغلب موارد).