ریاضیات

مثال کاربردی گشتاور در دستگاه دکارتی و معادل در استوانه‌ای

دو نقطه با نیروهای عمودی داریم؛ محاسبهٔ گشتاور با روش دکارتی و تحلیل معادل در دستگاه استوانه‌ای.

۱. داده‌ها

• P₁ = (x,y,z) = (0.50, 0.50, 0.00) m ، F₁ = (0,0,10) N


• P₂ = (x,y,z) = (−0.80, 0.30, 0.20) m ، F₂ = (0,0,15) N

۲. گشتاورها در دستگاه دکارتی (r × F)

• M₁ = (5.00, −5.00, 0.00) N·m → |M₁| ≈ 7.071 N·m


• M₂ = (4.50, 12.00, 0.00) N·m → |M₂| ≈ 12.816 N·m


• Mtotal = (9.50, 7.00, 0.00) N·m → |Mtotal| ≈ 11.800 N·m

۳. تبدیل به استوانه‌ای و رابطهٔ ساده

• ρ₁ = 0.7071 m ، φ₁ = π/4


• ρ₂ = 0.8544 m ، φ₂ ≈ 2.7828 rad


• برای نیروهای محوری (F = (0,0,F_z)) داریم: |M| = ρ · F_z.


• بنابراین |M₁| = 0.7071×10 = 7.071 ، |M₂| = 0.8544×15 = 12.816 (موافقت کامل با نتایج دکارتی)

۴. فاصلهٔ بین دو نقطه

d = √[(Δx)²+(Δy)²+(Δz)²] ≈ 1.330 m

۵. نتیجه‌گیری

برای مسائلِ دارای تقارنِ دورانی یا نیروهای محوری، کار در دستگاه استوانه‌ای
مستقیم‌تر و روشن‌تر است؛ چون گشتاور به‌سادگی با ρ و مؤلفهٔ محوری نیرو بیان می‌شود.