ریاضیات

مثال کاربردی گشتاور گاز در مختصات استوانه‌ای

فرض کنید یک سیلندر عمودی پر از گاز داریم که گاز در داخل آن حول محور z می‌چرخد.

۱. گشتاور حول محور z

گشتاور یک المان حجم در مختصات استوانه‌ای:

dMz = ρ ω r³ dr dφ dz

گشتاور کل حول محور z:

Mz = ∫0H ∫02π ∫0R ρ(r,z) ω(r,z) r³ dr dφ dz

۲. مثال عددی ساده

• ρ = 1 kg/m³ (چگالی یکنواخت)
• ω = 2 rad/s (سرعت زاویه‌ای ثابت)
• R = 0.5 m, H = 1 m

محاسبه:

1. انتگرال روی r: ∫00.5 2 r³ dr = 0.03125
2. انتگرال روی φ: ∫02π 0.03125 dφ ≈ 0.19635
3. انتگرال روی z: ∫01 0.19635 dz = 0.196 N·m

گشتاور کل حول محور z ≈ 0.196 N·m

۳. تحلیل

• گشتاور بخش‌های دورتر از محور بیشتر است (r³)
• در صورت تغییر چگالی یا سرعت زاویه‌ای، باید تابع ρ(r,z) و ω(r,z) را در انتگرال قرار داد
• مختصات استوانه‌ای برای سیلندرها و لوله‌ها کاملاً مناسب است