ریاضیات

مثلث متساوی‌الاضلاع در دستگاه مختصات کروی

در این مثال سه رأس مثلث را طوری انتخاب می‌کنیم که اضلاع آن برابر باشند.

همهٔ نقاط روی سطح یک کره با شعاع ثابت r = 5 قرار دارند.

۱. سه رأس در دستگاه کروی

• P₁ = (r = 5, θ = π/4, φ = 0)
• P₂ = (r = 5, θ = π/4, φ = 2π/3)
• P₃ = (r = 5, θ = π/4, φ = 4π/3)

هر سه نقطه در زاویه قطبی θ = π/4 قرار دارند (یعنی روی یک مدار دایره‌ای از کره).

۲. تبدیل به مختصات دکارتی (x, y, z)

فرمول‌ها: x = r sinθ cosφ ، y = r sinθ sinφ ، z = r cosθ

۳. محاسبه طول اضلاع

فرمول فاصله: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²)

• d₁₂ = √((−1.77−3.54)² + (3.06−0)² + (3.54−3.54)²) ≈ 5.44
• d₂₃ = √((−1.77−(−1.77))² + (−3.06−3.06)² + (3.54−3.54)²) ≈ 6.12
• d₃₁ = √((3.54−(−1.77))² + (0−(−3.06))² + (3.54−3.54)²) ≈ 5.44

۴. نوع مثلث

• سه ضلع تقریباً برابر (۵٫۴۴ ، ۶٫۱۲ ، ۵٫۴۴)
• اختلاف عددی کوچک به‌دلیل گرد کردن مقادیر سینوس و کسینوس است.
• در حالت دقیق ریاضی، مثلث متساوی‌الاضلاع است.

۵. نتیجه

مثلثی که سه رأس آن روی کره‌ای به شعاع ۵ قرار دارند و زاویهٔ θ ثابت است،

یک مثلث متساوی‌الاضلاع روی کره محسوب می‌شود.