ریاضیات

مثال سوم از مثلث در دستگاه مختصات کروی

در این مثال، سه رأس مثلث روی کره‌ای به شعاع r = 4 انتخاب شده‌اند.

نوع مثلث از روی طول اضلاع محاسبه و مشخص می‌شود.

۱. سه رأس در مختصات کروی

• P₁ = (r = 4, θ = π/4, φ = 0)
• P₂ = (r = 4, θ = π/4, φ = π/3)
• P₃ = (r = 4, θ = π/3, φ = π/6)

۲. تبدیل به مختصات دکارتی (x, y, z)

فرمول‌ها: x = r sinθ cosφ ، y = r sinθ sinφ ، z = r cosθ

۳. طول اضلاع (فاصله اقلیدسی بین نقاط)

فرمول فاصله: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²)

• d₁₂ = √((1.41−2.83)² + (2.45−0)² + (2.83−2.83)²) = √(2.016 + 6.002 + 0) ≈ 2.83
• d₂₃ = √((3.00−1.41)² + (1.73−2.45)² + (2.00−2.83)²) = √(2.53 + 0.52 + 0.69) ≈ 1.97
• d₃₁ = √((3.00−2.83)² + (1.73−0)² + (2.00−2.83)²) = √(0.03 + 2.99 + 0.69) ≈ 1.91

۴. نوع مثلث

• سه ضلع: 2.83 ، 1.97 ، 1.91 → همه متفاوت‌اند ⇒ مثلث ناهم‌ضلع (Scalene).
• چون d₁₂² ≈ d₂₃² + d₃₁² (تقریباً برابر) ⇒ مثلث قائم‌الزاویه (Right Triangle).

۵. نتیجه

این مثلث روی کره‌ای به شعاع ۴ قرار دارد و از نوع

ناهم‌ضلع و قائم‌الزاویه است.

(زاویهٔ قائم در رأس P₂ قرار دارد.)