ریاضیات

🤾 برخورد سه‌بعدی توپ هندبال با دست دروازه‌بان

شرح مسئله

یک توپ هندبال با جرم مشخص به دست دروازه‌بان برخورد می‌کند. تحلیل سه‌بعدی در مؤلفه‌های افقی (x)، جانبی (y) و عمودی (z). هدف: محاسبه سرعت‌های پس از برخورد، تکانه، نیروی متوسط و انرژی تلف‌شده.

پارامترهای مسئله

گام ۱ — تجزیهٔ سرعت اولیه توپ

v_x = v_i * cos(θ_x) * cos(θ_y) ≈ 20 * cos10° * cos15° ≈ 18.77 m/s

v_y = v_i * cos(θ_x) * sin(θ_y) ≈ 20 * cos10° * sin15° ≈ 4.88 m/s

v_z = v_i * sin(θ_x) ≈ 20 * sin10° ≈ 3.47 m/s

گام ۲ — سرعت توپ پس از برخورد

v_x' = - e * v_x ≈ -0.6 * 18.77 ≈ -11.26 m/s

v_y' = - e * v_y ≈ -0.6 * 4.88 ≈ -2.93 m/s

v_z' = - e * v_z ≈ -0.6 * 3.47 ≈ -2.08 m/s

گام ۳ — تکانه و نیروی متوسط

Δv_x = v_x' - v_x = -11.26 - 18.77 ≈ -30.03 m/s

Δv_y = v_y' - v_y = -2.93 - 4.88 ≈ -7.81 m/s

Δv_z = v_z' - v_z = -2.08 - 3.47 ≈ -5.55 m/s

J_x = m * Δv_x ≈ 0.45 * (-30.03) ≈ -13.51 N·s

J_y = 0.45 * (-7.81) ≈ -3.51 N·s

J_z = 0.45 * (-5.55) ≈ -2.50 N·s

F_avg_x = |J_x| / Δt ≈ 675.5 N

F_avg_y ≈ 175.5 N

F_avg_z ≈ 125 N

گام ۴ — انرژی جنبشی و انرژی تلف‌شده

KE_i = 0.5 * m * (v_x² + v_y² + v_z²) ≈ 0.5 * 0.45 * (18.77² + 4.88² + 3.47²) ≈ 87.3 J

KE_f = 0.5 * m * (v_x'² + v_y'² + v_z'²) ≈ 0.5 * 0.45 * (11.26² + 2.93² + 2.08²) ≈ 36.8 J

ΔKE = KE_i - KE_f ≈ 50.5 J

نتایج نهایی:

- سرعت توپ پس از برخورد: (v_x', v_y', v_z') ≈ (-11.26, -2.93, -2.08) m/s

- تکانه توپ: J_x ≈ 13.51 N·s, J_y ≈ 3.51 N·s, J_z ≈ 2.50 N·s

- نیروی متوسط: F_avg_x ≈ 675.5 N, F_avg_y ≈ 175.5 N, F_avg_z ≈ 125 N

- انرژی تلف‌شده: ΔKE ≈ 50.5 J

نکات عملی

• تحلیل سه‌بعدی نشان می‌دهد مؤلفه افقی بیشترین تأثیر روی مسیر توپ دارد.
• زمان تماس کوتاه → نیروی اوج لحظه‌ای بیشتر از نیروی متوسط است.
• این نسخه شامل محاسبات عددی بدون نمودار و نمای تصویری است.

HTML آماده برای بلاگفا — تحلیل برخورد توپ هندبال در حالت سه‌بعدی.