ریاضیات

🤾 برخورد توپ هندبال با دست دروازه‌بان — تحلیل دو بعدی

شرح مسئله

یک توپ هندبال با جرم مشخص به دست دروازه‌بان برخورد می‌کند. تحلیل دو بعدی در مؤلفه‌های افقی (x) و عمودی (y). هدف: محاسبه سرعت‌های پس از برخورد، تکانه، نیروی متوسط و انرژی تلف‌شده.

پارامترهای مسئله

گام ۱ — تجزیهٔ سرعت اولیه توپ

v_x = v_i * cos(θ) = 20 * cos10° ≈ 19.70 m/s

v_y = v_i * sin(θ) = 20 * sin10° ≈ 3.47 m/s

گام ۲ — سرعت توپ پس از برخورد

v_x' = - e * v_x ≈ -0.6 * 19.70 ≈ -11.82 m/s

v_y' = - e * v_y ≈ -0.6 * 3.47 ≈ -2.08 m/s

گام ۳ — تکانه و نیروی متوسط

Δv_x = v_x' - v_x = -11.82 - 19.70 ≈ -31.52 m/s

Δv_y = v_y' - v_y = -2.08 - 3.47 ≈ -5.55 m/s

J_x = m * Δv_x = 0.45 * (-31.52) ≈ -14.18 N·s

J_y = m * Δv_y = 0.45 * (-5.55) ≈ -2.50 N·s

F_avg_x = |J_x| / Δt ≈ 709 N

F_avg_y = |J_y| / Δt ≈ 125 N

گام ۴ — انرژی جنبشی و انرژی تلف‌شده

KE_i = 0.5 * m * (v_x² + v_y²) = 0.5 * 0.45 * (19.70² + 3.47²) ≈ 88.3 J

KE_f = 0.5 * m * (v_x'² + v_y'²) = 0.5 * 0.45 * (11.82² + 2.08²) ≈ 33.0 J

ΔKE = KE_i - KE_f ≈ 55.3 J

نتایج نهایی:

- سرعت توپ پس از برخورد: (v_x', v_y') ≈ (-11.82, -2.08) m/s

- تکانه توپ: J_x ≈ 14.18 N·s, J_y ≈ 2.50 N·s

- نیروی متوسط: F_avg_x ≈ 709 N, F_avg_y ≈ 125 N

- انرژی تلف‌شده: ΔKE ≈ 55.3 J

نکات عملی

• مؤلفه افقی بیشترین تکانه و انرژی را منتقل می‌کند.
• زمان تماس کوتاه → نیروی اوج بالایی ایجاد می‌شود.
• این تحلیل دو بعدی است و اثر چرخش یا مسیر سه‌بعدی توپ را شامل نمی‌شود.

HTML آماده برای بلاگفا — مثال برخورد توپ هندبال با دست دروازه‌بان در حالت دو بعدی.