ریاضیات

🏀 برخورد سه‌بعدی توپ بسکتبال با دست بازیکن

شرح مسئله

یک توپ بسکتبال با جرم مشخص به دست بازیکن برخورد می‌کند. تحلیل سه‌بعدی در مؤلفه‌های افقی (x)، عمودی (z) و جانبی (y). هدف: محاسبهٔ سرعت‌های پس از برخورد، تکانه، نیروی متوسط و انرژی تلف‌شده.

پارامترهای مسئله

گام ۱ — تجزیهٔ سرعت اولیه توپ

v_x = v * cos(θ_x) * cos(θ_y) ≈ 6.0 * cos45° * cos30° ≈ 3.67 m/s

v_y = v * cos(θ_x) * sin(θ_y) ≈ 6.0 * cos45° * sin30° ≈ 2.12 m/s

v_z = v * sin(θ_x) ≈ 6.0 * sin45° ≈ 4.24 m/s

گام ۲ — سرعت توپ پس از برخورد

v_x' = - e * v_x ≈ -0.8 * 3.67 ≈ -2.94 m/s

v_y' = - e * v_y ≈ -0.8 * 2.12 ≈ -1.70 m/s

v_z' = - e * v_z ≈ -0.8 * 4.24 ≈ -3.39 m/s

گام ۳ — تکانه و نیروی متوسط

Δv_x = v_x' - v_x = -2.94 - 3.67 ≈ -6.61 m/s

Δv_y = -1.70 - 2.12 ≈ -3.82 m/s

Δv_z = -3.39 - 4.24 ≈ -7.63 m/s

J_x = m * Δv_x ≈ 0.62 * (-6.61) ≈ -4.10 N·s

J_y = 0.62 * (-3.82) ≈ -2.37 N·s

J_z = 0.62 * (-7.63) ≈ -4.73 N·s

F_avg_x = |J_x| / Δt ≈ 273 N

F_avg_y ≈ 158 N

F_avg_z ≈ 315 N

گام ۴ — انرژی جنبشی و انرژی تلف‌شده

KE_i = 0.5 * m * (v_x² + v_y² + v_z²) ≈ 0.5 * 0.62 * (3.67² + 2.12² + 4.24²) ≈ 11.9 J

KE_f = 0.5 * m * (v_x'² + v_y'² + v_z'²) ≈ 0.5 * 0.62 * (2.94² + 1.70² + 3.39²) ≈ 6.9 J

ΔKE = KE_i - KE_f ≈ 5.0 J

نتایج نهایی:

- سرعت توپ پس از برخورد: (v_x', v_y', v_z') ≈ (-2.94, -1.70, -3.39) m/s

- تکانه توپ: J_x ≈ 4.10 N·s, J_y ≈ 2.37 N·s, J_z ≈ 4.73 N·s

- نیروی متوسط: F_avg_x ≈ 273 N, F_avg_y ≈ 158 N, F_avg_z ≈ 315 N

- انرژی تلف‌شده: ΔKE ≈ 5.0 J

نکات عملی

• تحلیل سه‌بعدی نشان می‌دهد که مؤلفه افقی و عمودی بیشترین تأثیر روی مسیر توپ دارند.
• زمان تماس کوتاه → نیروی اوج لحظه‌ای بیشتر از نیروی متوسط است.
• این نسخه فقط محاسبات عددی دارد و هیچ نمودار یا نمای تصویری ندارد.

HTML آماده برای بلاگفا — تحلیل برخورد توپ بسکتبال در حالت سه‌بعدی.