ریاضیات

🌐 مثال دوبعدی برخورد در دستگاه قطبی

تحلیل برخورد کشسان دو ذره با استفاده از مؤلفه‌های شعاعی (r) و مماسی (θ) در دستگاه قطبی.

شرح مسئله

دو ذره در نقطه‌ای از صفحه در حال حرکت‌اند:

• ذره A با جرم 0.30 kg در راستای شعاعی با سرعت vrA=4 m/s


• ذره B با جرم 0.20 kg در راستای مماسی با سرعت vθB=3 m/s

فرض می‌کنیم برخورد کاملاً کشسان است و خط تماس در جهت شعاعی (محور x) قرار دارد.

تبدیل به دستگاه کارتزین

vx = vr cosθ − vθ sinθ = vr

vy = vr sinθ + vθ cosθ = vθ

بنابراین داریم:

A: (vAx, vAy) = (4.0, 0.0)

B: (vBx, vBy) = (0.0, 3.0)

برخورد کشسان در راستای شعاعی (x)

در راستای مماسی (y) تغییری رخ نمی‌دهد. برای راستای x داریم:

v′Ax = ((mA − mB)/(mA + mB)) vAx + (2mB/(mA + mB)) vBx

v′Bx = (2mA/(mA + mB)) vAx + ((mB − mA)/(mA + mB)) vBx

جایگذاری اعداد (mA=0.3, mB=0.2, vAx=4, vBx=0):

v′Ax = 0.8 m/s

v′Bx = 4.8 m/s

مولفه‌های y بدون تغییر:

v′Ay = 0.0 , v′By = 3.0

محاسبه سرعت و زاویهٔ نهایی

برای هر ذره:

v′A = √(0.8² + 0²) = 0.8 m/s

θ′A = 0°


v′B = √(4.8² + 3²) = 5.66 m/s

θ′B = tan⁻¹(3/4.8) = 32°

✅ نتایج نهایی:

ذره A → 0.8 m/s در جهت شعاعی (θ=0°)

ذره B → 5.66 m/s در زاویه 32° نسبت به محور x (vrB=4.8 , vθB=3)

نکته فیزیکی

در برخوردهای کشسانی که خط تماس در راستای شعاعی است، مؤلفهٔ مماسی پایسته می‌ماند و فقط مؤلفهٔ شعاعی تغییر می‌کند.
این تحلیل در دستگاه قطبی برای برخوردهای بین ذرات کروی بسیار مفید است.

📘 نمونه آموزشی برای تحلیل برخورد دوبعدی در دستگاه قطبی (r–θ).
قابل استفاده در وبلاگ‌های آموزشی فیزیک یا جزوه‌های مکانیک تحلیلی.