ریاضیات

مثال حرکت مارپیچی — سرعت و شتاب با df/dt

فرض کنید جسمی روی مارپیچ حرکت می‌کند:

r = 1 m (ثابت)

θ(t) = 2 t² rad

z(t) = 3 t m

۱. مشتق‌های زمانی

dθ/dt = 4 t

d²θ/dt² = 4

dz/dt = 3

d²z/dt² = 0

۲. بردار سرعت

v⃗ = R (dθ/dt) êθ + (dz/dt) êz

در دکارتی:

v⃗ = (-4 t sin(2 t²)) î + (4 t cos(2 t²)) ĵ + 3 k̂

۳. بزرگی سرعت

|v| = √[(4 t)² + 3²] = √(16 t² + 9)

۴. بردار شتاب

a⃗ = -R (dθ/dt)² êr + R (d²θ/dt²) êθ + (d²z/dt²) êz

در دکارتی:

a_x = -[16 t² cos(2 t²) + 4 sin(2 t²)]

a_y = -[16 t² sin(2 t²) - 4 cos(2 t²)]

a_z = 0

۵. زاویه مسیر نسبت به محور z

tan α = (R dθ/dt) / (dz/dt) = 4 t / 3

α = arctan(4 t / 3)

۶. مقادیر عددی برای t=1s و t=2s