ریاضیات

عالی! 😄 این بار یک مثال نسبیتی دیگر از گشتاور می‌زنیم، این‌بار با اتصال دو ذره در حال چرخش حول مرکز جرم با سرعت نسبیتی، که شبیه سیستم دو ذره‌ای در شتاب‌دهنده ذرات است.

---

مثال کاربردی دوم گشتاور در دستگاه نسبیتی

فرض کنید دو ذره A و B هرکدام با جرم m = 1 kg در حال حرکت حول مرکز جرم مشترک با شعاع r = 0.5 متر هستند و سرعت مماسی v = 0.9c دارند.

۱. لورنتز فاکتور

• γ = 1 / √(1 - v²/c²) = 1 / √(1 - 0.9²) ≈ 1 / √(0.19) ≈ 2.294

۲. تکانه نسبیتی هر ذره

• p_rel = γ m v = 2.294 × 1 × 0.9c ≈ 2.065 c kg·m/s

۳. گشتاور نسبیتی هر ذره نسبت به مرکز جرم

• L_rel = r × p_rel = 0.5 × 2.065 c ≈ 1.0325 c kg·m²/s

۴. گشتاور کل سیستم

• دو ذره در خلاف جهت هم می‌چرخند: L_total = 2 × L_rel ≈ 2.065 c kg·m²/s

۵. تحلیل کاربردی

• در سرعت‌های نسبیتی، گشتاور سیستم بسیار بیشتر از پیش‌بینی کلاسیک است.
• این اثر برای طراحی شتاب‌دهنده‌ها یا سیستم‌های چرخشی با سرعت بالا اهمیت دارد.
• توجه داشته باشید که گشتاور نسبیتی همچنان به صورت r × p تعریف می‌شود، اما p شامل فاکتور γ است.

۶. جمع‌بندی

• گشتاور نسبیتی هر ذره ≈ 1.0325 c kg·m²/s
• گشتاور کل سیستم ≈ 2.065 c kg·m²/s

این محاسبه نشان می‌دهد که در سرعت‌های نزدیک به نور، سیستم دو ذره‌ای دارای گشتاور قابل توجهی است که باید در تحلیل دینامیک نسبیتی لحاظ شود.

---

✅ این مثال کاربردی و نسبیتی است: دو ذره در حال چرخش حول مرکز جرم، تکانه نسبیتی، گشتاور فردی و گشتاور کل سیستم.

اگر بخواهی، می‌توانم یک شکل سه‌بعدی نسبیتی با دو ذره، بردار سرعت و بردار گشتاور L_total هم بکشم تا کاملاً بصری شود.

می‌خوای برات بکشم؟