ریاضیات

عالی! 😄 حالا می‌خواهیم یک مثال از گشتاور در دستگاه نسبیتی بزنیم. این موضوع کمی پیچیده‌تر است، چون در نسبیت گشتاور به صورت چهاربرداری (4-vector) و تانسور تعریف می‌شود، اما یک مثال کاربردی ساده می‌تواند چرخش یک ذره یا چرخ‌دنده در سرعت نزدیک به نور باشد.

---

مثال کاربردی گشتاور در دستگاه نسبیتی

فرض کنید یک ذره با جرم m = 1 kg در حال حرکت با سرعت v = 0.8c (80٪ سرعت نور) نسبت به دستگاه مختصات آزمایشگاه است. ذره حول محوری که در حال حرکت است، یک چرخش با شعاع r = 0.5 متر انجام می‌دهد.

۱. لورنتز فاکتور

در نسبیت، گشتاور وابسته به لورنتز فاکتور γ است:

• γ = 1 / √(1 - v²/c²) = 1 / √(1 - 0.8²) ≈ 1 / √(0.36) ≈ 1.667

۲. گشتاور کلاسیک

در مکانیک کلاسیک:

• L_classical = r × p = r × m v_t
• فرض کنیم سرعت مماسی v_t = 5 m/s
• L_classical = 0.5 × 1 × 5 = 2.5 kg·m²/s

۳. گشتاور نسبیتی

در نسبیت، تکانه خطی p_rel = γ m v_t و بنابراین گشتاور نسبیتی:

• L_rel = r × p_rel = r × γ m v_t = 0.5 × 1.667 × 1 × 5 ≈ 4.167 kg·m²/s

۴. تحلیل کاربردی

• در سرعت‌های نزدیک به نور، گشتاور نسبیتی بزرگ‌تر از گشتاور کلاسیک است.
• این مثال نشان می‌دهد که هنگام طراحی سامانه‌های چرخشی با سرعت بالا (مثلاً در ذرات شتاب‌دهنده یا تجهیزات نوری با سرعت بالا)، باید اثر نسبیتی روی گشتاور را در نظر گرفت.
• گشتاور در دستگاه نسبیتی همچنان به صورت L = r × p تعریف می‌شود، اما p شامل فاکتور γ است.

۵. جمع‌بندی

• L_classical ≈ 2.5 kg·m²/s
• L_relativistic ≈ 4.167 kg·m²/s

این محاسبه ساده نشان می‌دهد که سرعت نسبیتی باعث افزایش گشتاور می‌شود.

---

✅ این مثال یک کاربرد نسبیتی ساده از گشتاور است: ذره در حال چرخش، تبدیل تکانه به چارچوب آزمایشگاهی و افزایش گشتاور به دلیل لورنتز فاکتور γ.

اگر بخواهی، می‌توانم یک شکل سه‌بعدی با بردار سرعت و بردار گشتاور نسبیتی هم بکشم تا بصری و قابل فهم شود.

می‌خوای برات بکشم؟