عالی! 😄 این بار یک مثال دیگر در مختصات استوانهای با موضوع فوتبال میزنیم، اینبار برای محاسبه گشتاور توپ هنگام ضربه ایستگاهی (کرنر یا ضربه آزاد) که بازیکن میخواهد توپ را بچرخاند).
---
مثال کاربردی دوم گشتاور توپ فوتبال در مختصات استوانهای
فرض کنید توپ فوتبال روی زمین برای ضربه آزاد آماده است. بازیکن میخواهد با ایجاد چرخش توپ، آن را از روی دیوار دفاعی به سمت دروازه خم کند.
مختصات توپ نسبت به محور شوت (محور مستقیم پا تا توپ) در دستگاه استوانهای به صورت زیر است:
- r = 0.3 متر (فاصله شعاعی از محور مستقیم شوت)
- θ = 60° (زاویه مماسی)
- z = 0.05 متر (ارتفاع از زمین)
نیروی پای بازیکن روی توپ به صورت زیر است:
- F_r = 150 N (نیروی شعاعی به سمت خارج محور شوت)
- F_θ = 100 N (نیروی مماسی برای ایجاد چرخش)
- F_z = 50 N (نیروی عمودی به زمین برای پرتاب توپ)
۱. تبدیل مختصات نقطه به کارتزین
- x = r × cos(θ) = 0.3 × cos(60°) ≈ 0.3 × 0.5 ≈ 0.15 m
- y = r × sin(θ) = 0.3 × sin(60°) ≈ 0.3 × 0.866 ≈ 0.26 m
- z = 0.05 m
۲. تبدیل مؤلفههای نیرو به کارتزین
- Fx = F_r × cos(θ) - F_θ × sin(θ) ≈ 150×0.5 - 100×0.866 ≈ 75 - 86.6 ≈ -11.6 N
- Fy = F_r × sin(θ) + F_θ × cos(θ) ≈ 150×0.866 + 100×0.5 ≈ 129.9 + 50 ≈ 179.9 N
- Fz = 50 N
۳. محاسبه گشتاور سهبعدی نسبت به مرکز توپ
- Mx = y·Fz - z·Fy ≈ 0.26×50 - 0.05×179.9 ≈ 13 - 9 ≈ 4 N·m
- My = z·Fx - x·Fz ≈ 0.05×(-11.6) - 0.15×50 ≈ -0.58 - 7.5 ≈ -8.08 N·m
- Mz = x·Fy - y·Fx ≈ 0.15×179.9 - 0.26×(-11.6) ≈ 27 + 3 ≈ 30 N·m
۴. تحلیل کاربردی
- Mz بزرگترین مؤلفه است، بنابراین توپ حول محور عمودی خود میچرخد و مسیر خمیده ایجاد میکند.
- Mx و My کوچک هستند، بنابراین توپ پیچش زیادی حول محورهای افقی ندارد.
- بازیکن با کنترل F_θ میتواند مقدار Mz را زیاد یا کم کند تا توپ مستقیم یا خمیده شود.
۵. جمعبندی
- Mx ≈ 4 N·m
- My ≈ -8.08 N·m
- Mz ≈ 30 N·m
این تحلیل کمک میکند تا شوتهای ایستگاهی با کنترل چرخش توپ دقیق و مؤثر انجام شوند.
---
✅ این مثال یک کاربرد واقعی از گشتاور توپ فوتبال در مختصات استوانهای است: توپ، نیروی پای بازیکن، محاسبه گشتاور شعاعی، مماسی و محوری، تحلیل چرخش توپ.
اگر بخواهی، میتوانم یک شکل سهبعدی استوانهای با توپ، بردار نیرو و بردار گشتاور Mx, My, Mz هم بکشم تا کاملاً بصری شود.
میخوای برات بکشم؟
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.