ریاضیات

مثال کاربردی گشتاور در مختصات استوانه‌ای – فوتبال

فرض کنید توپ فوتبال در لحظه برخورد با پای بازیکن در ارتفاع z = 0.1 متر (از زمین) قرار دارد و فاصله شعاعی از محور شوت (خط مستقیم پا تا توپ) r = 0.25 متر و زاویه θ = 30° نسبت به جهت مستقیم پا است.

نیروی پای بازیکن روی توپ به صورت زیر است:

• F_r = 200 N (به سمت شعاع از محور برخورد)
• F_θ = 50 N (نیروی مماسی برای ایجاد چرخش توپ)
• F_z = 100 N (نیروی عمودی به زمین)

۱. تبدیل مختصات نقطه به کارتزین

• x = r × cos(θ) = 0.25 × cos(30°) ≈ 0.25 × 0.866 ≈ 0.2165 m
• y = r × sin(θ) = 0.25 × sin(30°) ≈ 0.25 × 0.5 ≈ 0.125 m
• z = 0.1 m

۲. تبدیل مؤلفه‌های نیرو به کارتزین

• Fx = F_r × cos(θ) - F_θ × sin(θ) ≈ 200×0.866 - 50×0.5 ≈ 173.2 - 25 ≈ 148.2 N
• Fy = F_r × sin(θ) + F_θ × cos(θ) ≈ 200×0.5 + 50×0.866 ≈ 100 + 43.3 ≈ 143.3 N
• Fz = 100 N

۳. محاسبه گشتاور سه‌بعدی نسبت به مرکز توپ

• Mx = y·Fz - z·Fy ≈ 0.125×100 - 0.1×143.3 ≈ 12.5 - 14.33 ≈ -1.83 N·m
• My = z·Fx - x·Fz ≈ 0.1×148.2 - 0.2165×100 ≈ 14.82 - 21.65 ≈ -6.83 N·m
• Mz = x·Fy - y·Fx ≈ 0.2165×143.3 - 0.125×148.2 ≈ 31.0 - 18.525 ≈ 12.475 N·m

۴. تحلیل کاربردی

• Mz مثبت و بزرگ‌ترین مؤلفه است، نشان می‌دهد توپ حول محور عمودی خود (چرخش توپ) می‌چرخد، همان “کِرِو” یا چرخش خمیده شوت.
• Mx و My کوچک هستند، بنابراین پیچش حول محورهای افقی کم است و عمدتاً توپ مسیر مستقیم به سمت دروازه دارد.
• با این تحلیل، مربی می‌تواند زاویه پا و محل برخورد برای شوت‌های پیچشی و مستقیم را بهینه کند.

۵. جمع‌بندی

• Mx ≈ -1.83 N·m
• My ≈ -6.83 N·m
• Mz ≈ 12.475 N·m

این محاسبه گشتاور توپ فوتبال کمک می‌کند تا شوت‌های خمیده و مستقیم بهینه و قابل پیش‌بینی شوند.