ریاضیات

عالی! 😄 این بار یک مثال کاربردی از گشتاور در دستگاه دکارتی (x, y, z) می‌زنیم، مثلاً بازوی رباتیک صنعتی که بار را بلند می‌کند. این مثال کامل و آماده بلاگفا است.

---

مثال گشتاور در دستگاه دکارتی

فرض کنید یک بازوی رباتیک صنعتی داریم. نقطهٔ انتهایی بازو که بار 150 N به آن متصل است، دارای مختصات کارتزینی زیر است:

• x = 0.5 متر
• y = 0.3 متر
• z = 1.2 متر

نیروی اعمال شده به نقطه به صورت زیر است:

• Fx = 60 N
• Fy = 80 N
• Fz = 50 N

۱. محاسبه گشتاور

گشتاور نسبت به مبدا با فرمول M = r × F محاسبه می‌شود:

• Mx = y·Fz - z·Fy ≈ 0.3×50 - 1.2×80 ≈ 15 - 96 ≈ -81 N·m
• My = z·Fx - x·Fz ≈ 1.2×60 - 0.5×50 ≈ 72 - 25 ≈ 47 N·m
• Mz = x·Fy - y·Fx ≈ 0.5×80 - 0.3×60 ≈ 40 - 18 ≈ 22 N·m

۲. تحلیل

• گشتاور حول محور x منفی و بزرگ است، بنابراین بازو تحت پیچش شدید حول محور x قرار دارد.
• گشتاور حول محور y مثبت و متوسط است و باعث چرخش بازو حول محور y می‌شود.
• Mz کوچک‌تر است و نشان‌دهنده پیچش جزئی حول محور z است.
• این تحلیل در طراحی موتور، بلبرینگ و استحکام بازو اهمیت دارد.

۳. جمع‌بندی

• Mx ≈ -81 N·m
• My ≈ 47 N·m
• Mz ≈ 22 N·m

با محاسبه این گشتاورها، مهندس می‌تواند موتور و تحمل بار بازوی رباتیک را دقیق طراحی کند.

---

✅ این مثال واقعی و کاربردی در دستگاه دکارتی است: نقطه در فضا، نیروی سه‌بعدی، محاسبه گشتاور سه‌بعدی و تحلیل جهت‌ها.

اگر بخواهی، می‌توانم یک شکل سه‌بعدی دکارتی با نقطه، بردار نیرو و بردار گشتاور Mx, My, Mz هم بکشم تا بصری و قابل فهم شود.

می‌خوای برات بکشم؟