ریاضیات

مثال گشتاور در دستگاه استوانه‌ای

فرض کنید یک شفت چرخان داریم و یک نقطه روی شفت در مختصات استوانه‌ای قرار دارد:

• r = 0.3 متر (فاصله از محور شفت)


• θ = 30° (زاویه حول محور z)


• z = 1.0 متر (ارتفاع)

نیرویی به این نقطه وارد می‌شود:

• مؤلفه شعاعی: F_r = 50 N


• مؤلفه مماسی: F_θ = 80 N


• مؤلفه طولی: F_z = 40 N

۱. تبدیل مختصات نقطه به کارتزین

• x = r × cos(θ) = 0.3 × cos(30°) ≈ 0.3 × 0.866 ≈ 0.26 m


• y = r × sin(θ) = 0.3 × sin(30°) ≈ 0.3 × 0.5 ≈ 0.15 m


• z = 1.0 m

۲. تبدیل مؤلفه‌های نیرو به کارتزین

• Fx = F_r × cos(θ) - F_θ × sin(θ) ≈ 50×0.866 - 80×0.5 ≈ 43.3 - 40 ≈ 3.3 N


• Fy = F_r × sin(θ) + F_θ × cos(θ) ≈ 50×0.5 + 80×0.866 ≈ 25 + 69.3 ≈ 94.3 N


• Fz = 40 N

۳. محاسبه گشتاور سه‌بعدی

• Mx = y·Fz - z·Fy ≈ 0.15×40 - 1.0×94.3 ≈ 6 - 94.3 ≈ -88.3 N·m


• My = z·Fx - x·Fz ≈ 1.0×3.3 - 0.26×40 ≈ 3.3 - 10.4 ≈ -7.1 N·m


• Mz = x·Fy - y·Fx ≈ 0.26×94.3 - 0.15×3.3 ≈ 24.5 - 0.5 ≈ 24.0 N·m

۴. تحلیل

• Mx منفی بزرگ است، بنابراین شفت تمایل دارد حول محور x بچرخد.


• Mz مثبت است و باعث چرخش حول محور z می‌شود.


• My کوچک است و نشان‌دهنده پیچش جزئی حول محور y است.


• این تحلیل در طراحی شفت، موتور و بلبرینگ کاربردی است.

۵. جمع‌بندی

• Mx ≈ -88.3 N·m


• My ≈ -7.1 N·m


• Mz ≈ 24.0 N·m

با این محاسبه، مهندس می‌تواند محل مناسب تحمل بار و قدرت موتور چرخشی شفت را تعیین کند.