ریاضیات

عالی! 😄 این بار یک مثال کاربردی متفاوت در مختصات استوانه‌ای می‌زنیم، مثلاً برای بازوی رباتیک صنعتی یا بازوی جرثقیل که یک بار را حمل می‌کند. این مثال کامل و آماده بلاگفا است.

---

مثال کاربردی دوم گشتاور در دستگاه استوانه‌ای

فرض کنید یک بازوی جرثقیل صنعتی داریم. نقطهٔ اتصال بار روی بازو در مختصات استوانه‌ای قرار دارد:

• r = 0.5 متر (فاصله از محور مرکزی بازو)
• θ = 60° (زاویه حول محور z)
• z = 2.0 متر (ارتفاع از مبدا)

باری با وزن 200 N به نقطه اعمال می‌شود و مؤلفه‌های آن در راستای شعاع، مماسی و محور z به صورت زیر هستند:

• F_r = 120 N
• F_θ = 80 N
• F_z = 50 N

۱. تبدیل مختصات نقطه به کارتزین

• x = r × cos(θ) = 0.5 × cos(60°) ≈ 0.5 × 0.5 ≈ 0.25 m
• y = r × sin(θ) = 0.5 × sin(60°) ≈ 0.5 × 0.866 ≈ 0.433 m
• z = 2.0 m

۲. تبدیل مؤلفه‌های نیرو به کارتزین

• Fx = F_r × cos(θ) - F_θ × sin(θ) ≈ 120×0.5 - 80×0.866 ≈ 60 - 69.28 ≈ -9.28 N
• Fy = F_r × sin(θ) + F_θ × cos(θ) ≈ 120×0.866 + 80×0.5 ≈ 103.92 + 40 ≈ 143.92 N
• Fz = 50 N

۳. محاسبه گشتاور سه‌بعدی

• Mx = y·Fz - z·Fy ≈ 0.433×50 - 2.0×143.92 ≈ 21.65 - 287.84 ≈ -266.19 N·m
• My = z·Fx - x·Fz ≈ 2.0×(-9.28) - 0.25×50 ≈ -18.56 - 12.5 ≈ -31.06 N·m
• Mz = x·Fy - y·Fx ≈ 0.25×143.92 - 0.433×(-9.28) ≈ 35.98 + 4.02 ≈ 40 N·m

۴. تحلیل

• Mx منفی و بسیار بزرگ است، نشان می‌دهد بازو تحت پیچش شدید حول محور x قرار دارد.
• Mz مثبت است و باعث چرخش حول محور z می‌شود.
• My نسبتاً کوچک است، نشان‌دهنده خمش جزئی در محور y.
• این تحلیل برای طراحی بازو، انتخاب موتور و بلبرینگ‌ها اهمیت حیاتی دارد.

۵. جمع‌بندی

• Mx ≈ -266.19 N·m
• My ≈ -31.06 N·m
• Mz ≈ 40 N·m

با محاسبه این مؤلفه‌ها، مهندس می‌تواند کنترل و استحکام بازوی جرثقیل را بهینه کند و ایمنی حمل بار را تضمین کند.

---

✅ این مثال کاربردی واقعی با مختصات استوانه‌ای است: بازوی جرثقیل، بار متصل، نیروهای شعاعی، مماسی و محوری، محاسبه گشتاور سه‌بعدی و تحلیل جهت و مقدار آن.

اگر بخواهی، می‌توانم یک شکل سه‌بعدی استوانه‌ای با بازو، نقطه نیرو و بردار گشتاور Mx, My, Mz هم بکشم تا بصری و قابل فهم شود.

می‌خوای برات بکشم؟