ریاضیات

مثال کاربردی گشتاور سه‌بعدی در دستگاه کروی

فرض کنید یک بازوی رباتیک در فضای سه‌بعدی داریم. نقطهٔ انتهایی بازو (نقطهٔ کار) در مختصات کروبی است:

• فاصله از مبدا: r = 1.2 متر
• زاویه قطبی: θ = 45° (از محور z)
• زاویه استوا: φ = 30° (در صفحه xy)

در این نقطه سه نیرو وارد می‌شود که ناشی از ابزار متصل به بازو است:

• F₁ = 150 N (مؤلفهٔ شعاعی: F_r₁ = 100 N، مؤلفهٔ قطبی: F_θ₁ = 80 N، مؤلفهٔ استوا: F_φ₁ = 50 N)
• F₂ = 120 N (F_r₂ = 70 N, F_θ₂ = 60 N, F_φ₂ = 40 N)
• F₃ = 80 N (F_r₃ = 40 N, F_θ₃ = 35 N, F_φ₃ = 25 N)

۱. تبدیل مختصات نقطه به کارتزین

• x = r × sin(θ) × cos(φ) ≈ 1.2 × 0.707 × 0.866 ≈ 0.735 m
• y = r × sin(θ) × sin(φ) ≈ 1.2 × 0.707 × 0.5 ≈ 0.424 m
• z = r × cos(θ) ≈ 1.2 × 0.707 ≈ 0.848 m

۲. تبدیل مؤلفه‌های نیرو به کارتزین (تقریبی)

نیروی ۱

• Fx₁ ≈ 100×0.707×0.866 + 80×0.707×0.866 - 50×0.5 ≈ 61.3 + 49 - 25 ≈ 85.3 N
• Fy₁ ≈ 100×0.707×0.5 + 80×0.707×0.5 + 50×0.866 ≈ 35.35 + 28.28 + 43.3 ≈ 106.93 N
• Fz₁ ≈ 100×0.707 - 80×0.707 ≈ 70.7 - 56.56 ≈ 14.14 N

نیروی ۲

• Fx₂ ≈ 70×0.707×0.866 + 60×0.707×0.866 - 40×0.5 ≈ 42.8 + 36.8 - 20 ≈ 59.6 N
• Fy₂ ≈ 70×0.707×0.5 + 60×0.707×0.5 + 40×0.866 ≈ 24.75 + 21.21 + 34.64 ≈ 80.6 N
• Fz₂ ≈ 70×0.707 - 60×0.707 ≈ 49.5 - 42.42 ≈ 7.08 N

نیروی ۳

• Fx₃ ≈ 40×0.707×0.866 + 35×0.707×0.866 - 25×0.5 ≈ 24.5 + 21.4 - 12.5 ≈ 33.4 N
• Fy₃ ≈ 40×0.707×0.5 + 35×0.707×0.5 + 25×0.866 ≈ 14.14 + 12.37 + 21.65 ≈ 48.16 N
• Fz₃ ≈ 40×0.707 - 35×0.707 ≈ 28.28 - 24.75 ≈ 3.53 N

۳. محاسبه گشتاور هر نیرو (M = r × F)

نیروی ۱

• Mx₁ = y·Fz - z·Fy ≈ 0.424×14.14 - 0.848×106.93 ≈ 6 - 90.7 ≈ -84.7 N·m
• My₁ = z·Fx - x·Fz ≈ 0.848×85.3 - 0.735×14.14 ≈ 72.35 - 10.39 ≈ 61.96 N·m
• Mz₁ = x·Fy - y·Fx ≈ 0.735×106.93 - 0.424×85.3 ≈ 78.57 - 36.18 ≈ 42.39 N·m

نیروی ۲

• Mx₂ ≈ 0.424×7.08 - 0.848×80.6 ≈ 3 - 68.35 ≈ -65.35 N·m
• My₂ ≈ 0.848×59.6 - 0.735×7.08 ≈ 50.53 - 5.2 ≈ 45.33 N·m
• Mz₂ ≈ 0.735×80.6 - 0.424×59.6 ≈ 59.3 - 25.28 ≈ 34.02 N·m

نیروی ۳

• Mx₃ ≈ 0.424×3.53 - 0.848×48.16 ≈ 1.5 - 40.8 ≈ -39.3 N·m
• My₃ ≈ 0.848×33.4 - 0.735×3.53 ≈ 28.32 - 2.59 ≈ 25.73 N·m
• Mz₃ ≈ 0.735×48.16 - 0.424×33.4 ≈ 35.4 - 14.15 ≈ 21.25 N·m

۴. گشتاور کل

• Mx(total) ≈ -84.7 - 65.35 - 39.3 ≈ -189.35 N·m
• My(total) ≈ 61.96 + 45.33 + 25.73 ≈ 132.98 N·m
• Mz(total) ≈ 42.39 + 34.02 + 21.25 ≈ 97.66 N·m

۵. تحلیل کاربردی

• نیروی ابزار در انتهای بازو باعث ایجاد پیچش در هر سه محور می‌شود.
• Mx منفی بزرگ است، بنابراین بازو تمایل دارد حول محور x بچرخد.
• Mz و My مثبت هستند و نشان می‌دهند که بازو همچنین چرخش قابل توجهی حول محورهای y و z دارد.
• این نوع تحلیل در طراحی بازوهای رباتیک صنعتی، فضایی یا مکانیزم‌های چند درجه آزادی اهمیت حیاتی دارد.

۶. جمع‌بندی

گشتاور کل سه‌بعدی در دستگاه کروبی با جمع بردارهای گشتاور نیروهای مختلف بدست می‌آید:

• Mx ≈ -189.35 N·m
• My ≈ 132.98 N·m
• Mz ≈ 97.66 N·m

این تحلیل به مهندس کمک می‌کند تا کنترل و طراحی بازوی رباتیک را دقیق انجام دهد.