ریاضیات

مثال کامل گشتاور سه‌بعدی در دستگاه کروی

فرض کنید یک نقطه در فضا با مختصات کروبی r = 0.6 m, θ = 45°, φ = 60° داریم. سه نیروی مختلف در این نقطه اعمال می‌شوند:

۱. مشخصات نیروها

• نیروی ۱: F₁ = 80 N, F_r₁ = 50 N, F_θ₁ = 60 N, F_φ₁ = 30 N
• نیروی ۲: F₂ = 60 N, F_r₂ = 40 N, F_θ₂ = 35 N, F_φ₂ = 20 N
• نیروی ۳: F₃ = 50 N, F_r₃ = 30 N, F_θ₃ = 25 N, F_φ₃ = 15 N

۲. تبدیل مختصات کروبی به کارتزین

مختصات نقطه در کارتزین:

• x = r × sin(θ) × cos(φ) = 0.6 × sin(45°) × cos(60°) ≈ 0.6 × 0.707 × 0.5 ≈ 0.212 m
• y = r × sin(θ) × sin(φ) = 0.6 × 0.707 × 0.866 ≈ 0.367 m
• z = r × cos(θ) = 0.6 × 0.707 ≈ 0.424 m

۳. تبدیل مؤلفه‌های نیروها به کارتزین

فرمول تبدیل مؤلفه‌ها:

• Fx = F_r × sin(θ) × cos(φ) + F_θ × cos(θ) × cos(φ) - F_φ × sin(φ)
• Fy = F_r × sin(θ) × sin(φ) + F_θ × cos(θ) × sin(φ) + F_φ × cos(φ)
• Fz = F_r × cos(θ) - F_θ × sin(θ)

محاسبه تقریبی برای هر نیرو:

نیروی ۱

• Fx₁ ≈ 50×0.707×0.5 + 60×0.707×0.5 - 30×0.866 ≈ 17.68 + 21.21 - 25.98 ≈ 12.91 N
• Fy₁ ≈ 50×0.707×0.866 + 60×0.707×0.866 + 30×0.5 ≈ 30.61 + 36.63 + 15 ≈ 82.24 N
• Fz₁ ≈ 50×0.707 - 60×0.707 ≈ 35.35 - 42.42 ≈ -7.07 N

نیروی ۲

• Fx₂ ≈ 40×0.707×0.5 + 35×0.707×0.5 - 20×0.866 ≈ 14.14 + 12.37 - 17.32 ≈ 9.19 N
• Fy₂ ≈ 40×0.707×0.866 + 35×0.707×0.866 + 20×0.5 ≈ 24.5 + 21.42 + 10 ≈ 55.92 N
• Fz₂ ≈ 40×0.707 - 35×0.707 ≈ 28.28 - 24.75 ≈ 3.53 N

نیروی ۳

• Fx₃ ≈ 30×0.707×0.5 + 25×0.707×0.5 - 15×0.866 ≈ 10.61 + 8.84 - 12.99 ≈ 6.46 N
• Fy₃ ≈ 30×0.707×0.866 + 25×0.707×0.866 + 15×0.5 ≈ 18.36 + 15.3 + 7.5 ≈ 41.16 N
• Fz₃ ≈ 30×0.707 - 25×0.707 ≈ 21.21 - 17.68 ≈ 3.53 N

۴. محاسبه گشتاور سه‌بعدی

فرمول کارتزینی: M = r × F

نیروی ۱

• Mx₁ = y·Fz - z·Fy ≈ 0.367×(-7.07) - 0.424×82.24 ≈ -2.59 - 34.85 ≈ -37.44 N·m
• My₁ = z·Fx - x·Fz ≈ 0.424×12.91 - 0.212×(-7.07) ≈ 5.47 + 1.5 ≈ 6.97 N·m
• Mz₁ = x·Fy - y·Fx ≈ 0.212×82.24 - 0.367×12.91 ≈ 17.43 - 4.74 ≈ 12.69 N·m

نیروی ۲

• Mx₂ ≈ 0.367×3.53 - 0.424×55.92 ≈ 1.29 - 23.7 ≈ -22.41 N·m
• My₂ ≈ 0.424×9.19 - 0.212×3.53 ≈ 3.89 - 0.75 ≈ 3.14 N·m
• Mz₂ ≈ 0.212×55.92 - 0.367×9.19 ≈ 11.85 - 3.37 ≈ 8.48 N·m

نیروی ۳

• Mx₃ ≈ 0.367×3.53 - 0.424×41.16 ≈ 1.29 - 17.45 ≈ -16.16 N·m
• My₃ ≈ 0.424×6.46 - 0.212×3.53 ≈ 2.74 - 0.75 ≈ 1.99 N·m
• Mz₃ ≈ 0.212×41.16 - 0.367×6.46 ≈ 8.73 - 2.37 ≈ 6.36 N·m

۵. گشتاور کل

• Mx(total) ≈ -37.44 - 22.41 - 16.16 ≈ -75.99 N·m
• My(total) ≈ 6.97 + 3.14 + 1.99 ≈ 12.1 N·m
• Mz(total) ≈ 12.69 + 8.48 + 6.36 ≈ 27.53 N·m

۶. تحلیل

• نیروهای همزمان باعث گشتاور در جهات مختلف می‌شوند.
• مؤلفه Mx منفی بزرگ است، بنابراین جهت چرخش عمدتاً حول محور x خواهد بود.
• Mz مثبت و متوسط است و نشان می‌دهد که هنوز گشتاور حول محور z قابل توجه است.
• این تحلیل برای طراحی بازوهای رباتیک، شفت‌های سه‌بعدی و ماشین‌آلات فضایی کاربردی است.

۷. جمع‌بندی

در دستگاه کروبی، گشتاور کل با تبدیل مختصات و جمع بردارهای گشتاور محاسبه می‌شود:

• Mx ≈ -76 N·m
• My ≈ 12.1 N·m
• Mz ≈ 27.5 N·m

این روش به مهندسین کمک می‌کند تا تحلیل نیروها و چرخش سه‌بعدی را دقیق انجام دهند.