ریاضیات

مثال سه‌بعدی گشتاور در دستگاه استوانه‌ای

در دستگاه استوانه‌ای سه‌بعدی، مختصات نقاط با (r, θ, z) مشخص می‌شوند. گشتاور حول محور z و همچنین مؤلفه‌های x و y را می‌توان با تبدیل به مختصات کارتزین محاسبه کرد.

۱. مشخصات مسئله

فرض کنید نیروی F = 100 N به نقطه‌ای با مختصات استوانه‌ای (r = 0.5 m, θ = 60°, z = 0.2 m) وارد می‌شود. نیروی اعمال شده دارای مؤلفه‌های زیر در راستای شعاع و محور z است:

• Fθ = 70 N (مؤلفه مماسی)
• Fr = 50 N (مؤلفه شعاعی)
• Fz = 30 N (مؤلفه عمودی)

۲. تبدیل مختصات استوانه‌ای به کارتزین

برای محاسبه گشتاور سه‌بعدی، ابتدا مختصات کارتزینی نقطه را محاسبه می‌کنیم:

• x = r × cos(θ) = 0.5 × cos(60°) = 0.5 × 0.5 = 0.25 m
• y = r × sin(θ) = 0.5 × sin(60°) = 0.5 × 0.866 ≈ 0.433 m
• z = 0.2 m

نیرو هم در راستای کارتزین قابل تبدیل است:

• Fx = Fr × cos(θ) - Fθ × sin(θ) = 50 × 0.5 - 70 × 0.866 ≈ 25 - 60.62 ≈ -35.62 N
• Fy = Fr × sin(θ) + Fθ × cos(θ) = 50 × 0.866 + 70 × 0.5 ≈ 43.3 + 35 ≈ 78.3 N
• Fz = 30 N

۳. محاسبه گشتاور سه‌بعدی

فرمول گشتاور سه‌بعدی:

• M = r × F
• Mx = y·Fz - z·Fy = 0.433 × 30 - 0.2 × 78.3 ≈ 12.99 - 15.66 ≈ -2.67 N·m
• My = z·Fx - x·Fz = 0.2 × -35.62 - 0.25 × 30 ≈ -7.124 - 7.5 ≈ -14.624 N·m
• Mz = x·Fy - y·Fx = 0.25 × 78.3 - 0.433 × -35.62 ≈ 19.575 + 15.42 ≈ 34.995 ≈ 35 N·m

۴. تحلیل

• مؤلفهٔ Mz بیشترین مقدار را دارد، زیرا نیرو مؤلفهٔ مماسی بزرگی نسبت به محور z دارد.
• Mx و My نسبتاً کوچک هستند، اما نشان می‌دهند که نیرو باعث پیچش جزئی حول محورهای دیگر نیز می‌شود.
• این تحلیل در طراحی شفت‌ها، چرخ‌دنده‌ها و ماشین‌آلات دوار سه‌بعدی بسیار کاربردی است.

۵. جمع‌بندی

در دستگاه استوانه‌ای سه‌بعدی، گشتاور را می‌توان با تبدیل به مختصات کارتزین و استفاده از M = r × F محاسبه کرد. در مثال بالا:

• Mx ≈ -2.67 N·m
• My ≈ -14.62 N·m
• Mz ≈ 35 N·m

این روش برای تحلیل نیروهای پیچشی سه‌بعدی بسیار مناسب است.