ریاضیات

مثال کامل گشتاور در دستگاه استوانه‌ای

فرض کنید یک محور استوانه‌ای افقی داریم که حول محور z می‌چرخد و سه نیرو در نقاط مختلف روی محیط آن اعمال می‌شوند تا چرخ را بچرخانند. هدف محاسبه گشتاور کل حول محور z است.

۱. مشخصات مسئله

• شعاع چرخ: r = 0.5 متر
• نیروی ۱: F₁ = 100 N، زاویه θ₁ = 90° (کاملاً مماسی)
• نیروی ۲: F₂ = 80 N، زاویه θ₂ = 45°
• نیروی ۳: F₃ = 60 N، زاویه θ₃ = 120°

۲. محاسبه مؤلفه‌های مماسی نیرو

مؤلفهٔ مماسی نیرو که گشتاور ایجاد می‌کند:

• Fθ₁ = F₁ × sin(θ₁) = 100 × sin(90°) = 100 N
• Fθ₂ = F₂ × sin(θ₂) = 80 × sin(45°) ≈ 80 × 0.707 ≈ 56.56 N
• Fθ₃ = F₃ × sin(θ₃) = 60 × sin(120°) ≈ 60 × 0.866 ≈ 51.96 N

۳. محاسبه گشتاور هر نیرو حول محور z

Mz = r × Fθ

• Mz₁ = 0.5 × 100 = 50 N·m
• Mz₂ = 0.5 × 56.56 ≈ 28.28 N·m
• Mz₃ = 0.5 × 51.96 ≈ 25.98 N·m

۴. گشتاور کل حول محور z

Mz(total) = Mz₁ + Mz₂ + Mz₃ ≈ 50 + 28.28 + 25.98 ≈ 104.26 N·m

۵. تحلیل کامل

• هر نیروی مماسی بیشترین تأثیر را روی چرخش حول محور z دارد.
• مؤلفه‌های شعاعی نیرو (Fr = F × cos(θ)) هیچ تأثیری بر گشتاور حول محور z ندارند، اما می‌توانند فشار اضافی بر محور ایجاد کنند.
• زاویه نیرو نسبت به شعاع بسیار مهم است؛ هرچه نیرو به سمت مماسی باشد، گشتاور بیشتر است.
• می‌توان از این روش برای تحلیل گشتاور در چند نیروی همزمان استفاده کرد و جهت چرخش نهایی را تعیین کرد.

۶. جمع‌بندی

گشتاور کل حول محور z در دستگاه استوانه‌ای با چند نیرو برابر است با جمع گشتاورهای مؤلفهٔ مماسی هر نیرو:

Mz(total) = Σ r × F × sin(θ)

در مثال بالا، گشتاور کل تقریباً 104.26 N·m بود.