ریاضیات

مثال گشتاور در دستگاه سه‌بعدی

در دستگاه سه‌بعدی، گشتاور حول یک نقطه یا محور با استفاده از ضرب برداری بین بردار موقعیت و بردار نیرو محاسبه می‌شود:

۱. تعریف گشتاور سه‌بعدی

اگر نقطهٔ اعمال نیرو با بردار r = (x, y, z) مشخص شود و بردار نیرو F = (Fx, Fy, Fz) باشد، گشتاور به صورت زیر است:

M = r × F

که مؤلفه‌های آن به شکل زیر است:

• Mx = y·Fz - z·Fy
• My = z·Fx - x·Fz
• Mz = x·Fy - y·Fx

۲. مثال عملی

فرض کنید نیرویی به نقطه‌ای با مختصات r = (0.5, 0.2, 0.1) m اعمال می‌شود:

• Fx = 10 N
• Fy = 20 N
• Fz = 30 N

مؤلفه‌های گشتاور:

• Mx = y·Fz - z·Fy = 0.2×30 - 0.1×20 = 6 - 2 = 4 N·m
• My = z·Fx - x·Fz = 0.1×10 - 0.5×30 = 1 - 15 = -14 N·m
• Mz = x·Fy - y·Fx = 0.5×20 - 0.2×10 = 10 - 2 = 8 N·m

۳. تحلیل

• گشتاور در سه بعد، برداری است و جهت آن با قانون دست راست مشخص می‌شود.
• مقدار و جهت گشتاور بستگی به موقعیت نقطه و بردار نیرو دارد.
• در طراحی مکانیزم‌ها و تحلیل پیچشی، گشتاور سه‌بعدی اهمیت زیادی دارد.

۴. جمع‌بندی

گشتاور سه‌بعدی به صورت M = r × F تعریف می‌شود و مؤلفه‌های آن Mx, My, Mz هستند. این ابزار برای تحلیل‌های مکانیکی و مهندسی کاربردی است.