ریاضیات

ماتریس جرم یک خوشهٔ انار 🍎

در این پست دو مدل متداول برای ماتریس جرم خوشهٔ انار را معرفی می‌کنیم: مدل دقیق (هر دانه جدا) و مدل کاهش‌یافته (خوشه یک جرم متمرکز). مثال عددی نیز آورده شده است.

۱. مدل تعمیم‌یافته

حالت دقیق (n دانه):

M = diag( m I3 , m I3 , ... , m I3 ) 3n × 3n

حالت کاهش‌یافته (خوشه جرم متمرکز):

M = M_cluster I3 (3×3)

M_cluster = Σ m_i + m_پوست

۲. مثال عددی

• تعداد دانه‌ها ≈ 600
• جرم هر دانه ≈ 0.0006 kg (0.6 g)
• جرم پوست/پرده ≈ 0.20 kg

جرم دانه‌ها = 600×0.0006 = 0.36 kg

جرم خوشه = 0.36 + 0.20 = 0.56 kg

۳. ابعاد ماتریس‌ها

• مدل دقیق: ماتریس 1800×1800 (3×600)
• مدل کاهش‌یافته: ماتریس 3×3 (یا 6×6 اگر ممان اینرسی بخواهیم)

۴. ممان اینرسی (تقریبی)

اگر خوشه را تقریباً کره فرض کنیم (R≈0.05 m):

I ≈ (2/5) M R^2 ≈ 0.00056 kg·m^2

نتیجه: برای بیشتر کاربردهای مهندسی و شبیه‌سازی‌های دینامیکی، مدل کاهش‌یافته (جرم متمرکز) کافی و اقتصادی است؛ ولی اگر نیاز به جزئیات توزیع جرم داخل خوشه باشد، مدل دقیق هر دانه لازم خواهد بود.