ریاضیات

ماتریس جرم یک کله‌قند 🍬

کله‌قند را می‌توان به صورت یک مخروط ناقص مدل کرد که دارای جرم، چگالی و ممان اینرسی مشخص است.

۱. پارامترهای هندسی

• شعاع پایین: r₁ = 0.04 m
• شعاع بالا: r₂ = 0.02 m
• ارتفاع: h = 0.12 m
• چگالی: ρ = 1600 kg/m³

۲. محاسبه حجم و جرم

V = (1/3)πh(r₁² + r₁r₂ + r₂²)

= (1/3)π(0.12)(0.04² + 0.04×0.02 + 0.02²)

= 0.000402 m³

m = ρV = 1600 × 0.000402 = 0.643 kg

۳. ماتریس جرم انتقالی

M =

| 0.643 0 0 |

| 0 0.643 0 |

| 0 0 0.643 |

۴. ممان اینرسی حول مرکز جرم

I_x = I_y = (3/20) m r₁² = (3/20)(0.643)(0.04²) = 0.00154

I_z = (3/10) m r₁² = (3/10)(0.643)(0.04²) = 0.00308

در نتیجه بخش ممان اینرسی در ماتریس جرم کامل به صورت زیر است:

I =

| 0.00154 0 0 |

| 0 0.00154 0 |

| 0 0 0.00308 |

۵. جمع‌بندی

کله‌قند با جرم 0.643 کیلوگرم و ابعاد ذکرشده، یک ماتریس جرم قطری دارد که در آن جرم در هر سه جهت برابر است. بخش چرخشی (ممان اینرسی) نیز در راستای محور مرکزی مقدار بزرگ‌تری دارد.

نتیجه: این مدل ساده ولی دقیق می‌تواند برای تحلیل دینامیکی اجسام متقارن مانند کله‌قند، مخروط یا گلوله‌های بریده‌شده استفاده شود.