ریاضیات

مثال سوم — مدل ترکیبی ماتریس جرم یک درخت انگور 🌿🍇

در این مثال از یک مدل ترکیبی استفاده می‌کنیم: بعضی خوشه‌ها را به صورت دقیق (هر دانه جدا) و بعضی را به صورت جرم متمرکز مدل می‌کنیم. همچنین جرم برگ‌ها را به صورت تجمیعی در گره‌های شاخه وارد می‌کنیم.

۱. داده‌های اولیه

• تعداد گره‌های ساقه/شاخه: 5 گره (تنه + 4 شاخه فرعی)
• جرم هر گره سازه‌ای (بدون برگ): ms = 0.13 kg
• جرم برگ‌ها (تجمیع در گره‌ها): هر گره به‌طور متوسط mleaf = 0.02 kg برگ دارد
• تعداد خوشه‌ها: 4 خوشه
• جزئیات خوشه‌ها:
  • خوشه 1: 4 دانه — (مدل دقیق: هر دانه جدا)
  • خوشه 2: 1 دانه — (مدل کاهش‌یافته: همان 1 دانه → جرم متمرکز)
  • خوشه 3: 6 دانه — (مدل کاهش‌یافته: مجموع دانه‌ها متمرکز)
  • خوشه 4: 2 دانه — (مدل دقیق: هر دانه جدا)

• جرم هر دانه انگور: m = 0.0045 kg

۲. محاسبه جرم‌های اجزاء

جرم هر گره با برگ = m_s + m_leaf = 0.13 + 0.02 = 0.15 kg

خوشه1 (دقیق): 4 × 0.0045 = 0.018 kg (اما در مدل دقیق هر دانه جدا لحاظ می‌شود)

خوشه2 (متمرکز): 1 × 0.0045 = 0.0045 kg

خوشه3 (متمرکز): 6 × 0.0045 = 0.027 kg

خوشه4 (دقیق): 2 × 0.0045 = 0.009 kg (هر دانه جدا)

۳. درجات آزادی

هر گره یا جرم متمرکز ۳ درجه آزادی (x,y,z) دارد.

DOF_سازه = 5 × 3 = 15

خوشه‌ها (مدل دقیق): خوشه1 = 4 دانه → 4×3 = 12

خوشه4 = 2 دانه → 2×3 = 6

خوشه‌ها (متمرکز): خوشه2 = 3 DOF ، خوشه3 = 3 DOF --> مجموع 6

DOF_خوشه‌ها کل = 12 + 6 + 6 = 24

DOF_کل (مدل ترکیبی) = 15 + 24 = 39 --> ماتریس 39×39

۴. ساختار ماتریس جرم (بلاکی)

ماتریس جرم به صورت بلاکی مرتب می‌شود:

M_درخت =

| M_سازه (15×15) 0 (15×24) |

| 0 (24×15) M_خوشه‌ها (24×24) |

• M_سازه: ماتریس قطری با 15 درایه قطر هر کدام = 0.15 kg
• M_خوشه‌ها: برای خوشه‌های دقیق، هر دانه یک بلاک 3×3 = diag(0.0045,0.0045,0.0045)؛

  برای خوشه‌های متمرکز، هر خوشه یک بلاک 3×3 = diag(M_cluster,M_cluster,M_cluster).

۵. نمایش عددیِ بخش‌های قطر

M_سازه = diag(0.15,0.15, ..., 0.15) (15 مقدار)

M_خوشه‌ها (قطر نمونه، ترتیب: خوشه1_دانه1,..دانه4, خوشه4_دانه1..دانه2, خوشه2_mتمرکز, خوشه3_mتمرکز):

-- خوشه1 (4 دانه × 3 DOF) → 12 مقدار 0.0045

-- خوشه4 (2 دانه × 3 DOF) → 6 مقدار 0.0045

-- خوشه2 (متمرکز) → 3 مقدار 0.0045

-- خوشه3 (متمرکز) → 3 مقدار 0.027

در نتیجه قطر M_خوشه‌ها مجموعاً 24 درایه خواهد داشت.

۶. جرم کل درخت

جرم ساقه‌ها+برگ = 5 × 0.15 = 0.75 kg

جرم همه دانه‌ها = (4 + 1 + 6 + 2) × 0.0045 = 13 × 0.0045 = 0.0585 kg

جرم کل = 0.75 + 0.0585 = 0.8085 kg

۷. نکات و کاربردها

• این مدل ترکیبی سرعت محاسبه را بالا می‌برد و در عین حال دقت محلی را برای خوشه‌های مهم حفظ می‌کند.
• اگر نقطهٔ اتصال خوشه‌ها به شاخه مشخص باشد، می‌توان ممان اینرسی محلی را هم اضافه کرد تا اثر نوسان بر شاخه دیده شود.
• برای شبیه‌سازی دینامیکی (مثلاً نوسانات باد) مدل ترکیبی معمولاً بهترین تعادل بین دقت و کارایی است.

خلاصه: در این مثال ماتریس جرم یک درخت انگور با ۵ گره سازه و ۴ خوشه (ترکیبی از مدل دقیق و متمرکز) ساخته شد؛ نتیجه یک ماتریس قطریِ بلاکیِ 39×39 است که جرم کل ≈ 0.8085 kg می‌شود.