ریاضیات

🎱 تحلیل ریاضی حرکت گوی در بازی‌های هدف‌گیری

۱. حرکت پرتابه‌ای (قبل از زمین)

x(t) = v₀ cosθ · t ,

y(t) = y₀ + v₀ sinθ · t - ½ g t²

۲. حرکت روی زمین

• لغزش اولیه: a_x = μ g
• غلتش بدون لغزش: v = ω R , K_total = ½ m v² + ½ I ω²
• ممان اینرسی: I = 2/5 m R²

۳. نیروها

• گرانش: F_g = m g
• نیروی عمودی زمین: N ≈ m g
• نیروی اصطکاک: f = μ m g
• نیروی دست/بازو در پرتاب: F_push → تعیین سرعت اولیه

۴. برد و زمان

• t_stop = v₀ / (μ g)
• R_slide = v₀² / (2 μ g)
• برد نهایی = لغزش + غلتش

۵. مثال عددی

m=1.5 kg, R=0.08 m, v₀=4 m/s, μ=0.2

• زمان لغزش ≈ 2.04 s
• برد لغزش ≈ 4.08 m
• انرژی جنبشی خطی ≈ 12 J
• انرژی جنبشی دورانی ≈ 0.48 J

۶. نکات

• زاویه و سرعت پرتاب → تعیین مسیر و نقطه تماس
• اصطکاک → طول لغزش و شروع غلتش
• سرعت زاویه‌ای → پایداری و دقت مسیر گوی
• در هدف‌گیری، کوچکترین تغییر زاویه چند دسی‌متر برد را تغییر می‌دهد