ریاضیات

🏃‍♂️↗️ پرش طول (پرش در شن) — راهنمای تحلیلی و ریاضی

۱. مقدمه و فرض‌ها

پرش طول را به سه فاز تقسیم می‌کنیم: دویدن و برداشت (take-off)، پرواز (flight) و فرود در بستر شن. در این نوشته مدل حرکت COM و مدل‌های سادهٔ فرود در شن بررسی می‌شوند.

۲. معادلات حرکت COM (بدون درگ)

سرعت لحظهٔ برداشت: v₀ و زاویه α.

مؤلفه‌ها: vx0=v₀ cosα ، vz0=v₀ sinα

مختصات: x(t)=x₀ + vx0 t ، z(t)=h₀ + vz0 t − ½ g t²

زمان پرواز: T = (vz0 + √(vz0² + 2 g h₀))/g

برد COM: R = vx0 T

۳. انرژی و برداشت

انرژی جنبشی پیش از برداشت: Ek=½ m vapproach². در برداشت بخشی از این انرژی با کار عضلانی به مؤلفهٔ قائم افزوده می‌شود. تکانهٔ قائم: m vz0 ≈ ∫Fz(t) dt.

۴. مدل فرود در شن

چند رویکرد ساده:

• مدل تکانشی: vz+=−e vz− (e کوچک برای شن).
• مدل نفوذ: m z̈ = −m g − (k z + c ż + F₀) → حل عددی برای z(t) و zmax.
• مدل غیرخطی تجربی: Fsand ≈ a + b |ż| + c z^α (پارامترها با آزمایش تعیین می‌شوند).

۵. مثال عددی ساده

فرض: vapproach=9.5 m/s ، α=20° ، h₀=1.0 m

محاسبات: vx0≈8.92 m/s ، vz0≈3.25 m/s ، T≈0.888 s ، R≈7.92 m

انرژی قائم برخورد ≈ ½ m vz² → برای m=70 kg و vz≈3.5 m/s ، E≈429 J → اگر Favg=2000 N آنگاه zmax≈0.21 m (برآورد).

۶. پیشنهادهای عملی

• برای دقت بالا پارامترهای بستر شن (silt/sand compaction, moisture) را با آزمون آزمایشگاهی تعیین کنید.
• برای مدل برداشت از ورودی نیروی صفحه‌ای (force plate) استفاده کنید تا Jz و کار عضلانی واقعی محاسبه شود.
• می‌توانم شبیه‌سازی عددی (حل ODE شامل درگ و مدل نفوذ شن) یا کد پایتون آماده برای اجرا بسازم — اگر خواستی می‌سازم و نمودار/جدول می‌دهم.