ریاضیات

🏃‍♂️ تحلیل ریاضی دوومیدانی — دو، پرش‌ها و پرتاب‌ها (مرجع تحلیلی)

۱. دستگاه مختصات و مختصات تعمیم‌یافته

موقعیت: r(t) = (x(t), y(t), z(t)). برای دونده اغلب از q1=s(t) و q2=φ(t) استفاده می‌شود. برای پرش و پرتاب، مرکز جرم COM را مدلسازی کنید.

۲. دونده

سرعت/شتاب (با پارامتر s, φ):

ẋ = ṡ cosφ − s φ̇ sinφ ,  ẍ = s̈ cosφ − 2 ṡ φ̇ sinφ − s φ̈ sinφ − s φ̇² cosφ.

معادلهٔ دینامیکی (یک بعدی ساده): m s̈ = Fmuscle(t) − FD − Fbrake. مدل خستگی و محدود سرعت لازم است.

۳. پرش‌ها (طول، سه‌پرش، ارتفاع)

بدون درگ: برد کلاسیک R = v₀² sin(2α)/g. با درگ نیاز به حل عددی داریم. در پرش ارتفاع و پول‌وازت، تبدیل انرژی جنبشی → انرژی پتانسیل و انرژی الاستیک میله مهم است.

۴. پرتاب‌ها (نیزه، دیسک، چکش، وزنه)

معادلهٔ عمومی: m r̈ = −m g ẑ − ½ ρ CD A |v| v + FL (یا cM ω×v) .

خصوصیات: shot put → درگ کوچک؛ discus/ javelin → لیفت/اسپین مهم؛ hammer → انتقال انرژی زاویه‌ای.

۵. برخورد و تکانه (در سه‌پرش/پله‌ها)

تکانۀ تماس: m(v⁺ − v⁻) = J ، I(ω⁺ − ω⁻) = R n̂ × Jt . مدل اصطکاک و زمان تماس را برای دقت بیشتر وارد کنید.

۶. مثال عددی پیشنهادی

می‌توانیم یک شبیه‌سازی عددی (مثلاً javelin با CD, cM) انجام دهیم و برد/مسیر را رسم کنیم. به محض درخواست، اجرا می‌کنم.

۷. پیشنهادهای عملی

• اگر می‌خواهی «شبیه‌سازی مسیر» — بگو کدام رویداد (مثلاً javelin, long jump, shot put, sprint)؛ من کد و نتایج عددی می‌سازم.
• برای تحلیل بیومکانیکیِ دونده، دادهٔ گام/نیروی زمین یا حداقل سرعت اولیه بده تا مدل‌سازیِ خستگی/قدرت انجام شود.