ریاضیات

🏐 تحلیل ریاضی حرکت توپ در والیبال — درگ، مگنوس و برخورد

۱. دستگاه مختصات

موقعیت توپ: r(t) = (x(t), y(t), z(t)). محور x به سمت جلو، y عرض میدان، z عمودی.

۲. سرعت و شتاب

کارتزینی: v = ẋ i + ẏ j + ż k ، a = ẍ i + ÿ j + z̈ k.

قطبی (افقی): v = ṙ er + r θ̇ eθ ، a = (r̈ − r θ̇²)er + (r θ̈ + 2 ṙ θ̇)eθ.

۳. انرژی و لاگرانژی

Ttrans = (1/2) m (ẋ²+ẏ²+ż²)

Trot = (1/2) I ‖ω‖² ,  I = (2/5) m R²

V = m g z

L = Ttrans + Trot − V

۴. نیروها

• گرانش: Fg=−m g ẑ
• درگ (مربعی): FD=−½ ρ CD A |v| v
• مگنوس: FM=cM ω × v
• برخورد/تماس (دست/زمین/تور): Fcontact — مدل تکانشی در برخورد

۵. معادلهٔ حرکت

m r̈ = Fg + FD + FM + Fcontact

۶. برخوردها (ایدهٔ کلی)

مؤلفهٔ نرمال: vn+=−e vn−

مؤلفهٔ مماسی: تعیین Jt با مدل اصطکاک (Coulomb) و سپس به‌روزرسانی v و ω با معادلات تکانه.

۷. مثال عددی نمونه

پارامترها (نمونه‌ای): m=0.27 kg, R=0.105 m, ρ=1.2 kg/m³, CD=0.5, cM=1e−4, v=(12,0,5) m/s, ω=(0,40,0) rad/s.

نتایج (یک لحظه): |v|=13.0 m/s ، A≈0.03464 m² ، FD≈(−1.621,0,−0.675) N ، FM≈(0.02,0,−0.048) N ، Fg≈(0,0,−2.6487) N ⇒ Ftot≈(−1.601,0,−3.3721) N ⇒ a≈(−5.9295,0,−12.4893) m/s².

۸. نتیجه‌گیری

• برای شبیه‌سازی سرو، اسپایک و پاس از مدل مربعی درگ و در صورت وجود اسپین از مگنوس استفاده کنید.
• برخورد با دست باید بسته به زمان تماس و الگوی نیرویی مدل شود تا پیش‌بینی دقیق سرعت و اسپین امکان‌پذیر گردد.
• پارامترهای تجربی (CD, cM, e) را با آزمایش یا برازش روی داده‌های ویدئویی تعیین کنید.