ریاضیات

⚙️ لاگرانژی و معادلات حرکت — توپ و بازیکن در میدان فوتبال

۱. کلیات

لاگرانژی: L = T − V. معادلهٔ اویلر–لاگرانژ برای هر مختصهٔ تعمیم‌یافته qi:

(d/dt)(∂L/∂q̇i) − ∂L/∂qi = Qi

۲. توپ (مختصات قطبی r, θ)

انرژی جنبشی:

T = (1/2) m ( ṙ² + r² θ̇² )

انرژی پتانسیل: برای حرکت افقی روی زمین V ≈ 0 (یا در حالت پرتاب V = m g z).

لاگرانژی:

L = (1/2) m ( ṙ² + r² θ̇² ) − V

معادلات حرکت:

m r̈ − m r θ̇² = Qr

d/dt( m r² θ̇ ) = Qθ

۳. بازیکن (پارامتر مسیر s و جهت φ)

موقعیت: x = x₀ + s cosφ , y = y₀ + s sinφ

انرژی جنبشی (انتقالی + چرخشی):

T = (1/2) m ( ṡ² + s² φ̇² ) + (1/2) I φ̇²

لاگرانژی: L = T − V (معمولاً V ≈ 0 روی سطح صاف)

معادلات اویلر–لاگرانژ:

برای s: m s̈ − m s φ̇² + ∂V/∂s = Qs

برای φ: (m s² + I) φ̈ + 2 m s ṡ φ̇ − ∂V/∂φ = Qφ

۴. نمونهٔ سادهٔ دمپینگ (مقاومت هوا یا برهم‌کنش با زمین)

مدل خطی دمپینگ: FD ≈ −b v ⇒ مؤلفه‌های عمومی نمونه‌ای:

Qr = −b ṙ , Qθ = −b r θ̇

۵. نتیجه‌گیری

• با نوشتن T و V در مختصات تعمیم‌یافته، لاگرانژی به دست می‌آید و معادلات حرکت استخراج می‌شوند.
• نیروهای عمومی Qi (اصطکاک، دمپینگ، گشتاور عضلانی) روبه‌روی هر معادله ظاهر می‌شوند و فیزیک واقعی میدان فوتبال را وارد مدل می‌کنند.
• این چارچوب اجازه می‌دهد برخوردها، شوت‌ها و تغییر جهت‌های پیچیده را با دقت ریاضی مدل کنیم.