تحلیل ریاضی و مرکز جرم چرخدنده
در یک چرخدنده فولادی با شعاع گام R = 50 mm و ضخامت t = 10 mm،
۲۰ دندانه یکنواخت وجود دارد. فرض کنید یکی از دندانهها ۱۰٪ سنگینتر باشد.
این نامتقارنی باعث میشود مرکز جرم کل چرخدنده از مرکز هندسی جابهجا شود.
۱. محاسبات عددی
- شعاع پایه: Rb = 46.98 mm
- شعاع رأس دندانه: Ra = 54.5 mm
- جرم دیسک مرکزی: Mdisk = 0.544 kg
- جرم هر دندانه معمولی: ms = 9.40 g
- جرم دندانه سنگینتر: mL = 10.35 g
- شعاع میانگین مرکز جرم دندانهها: r̄ = 50.835 mm
- جرم کل: Mtotal = Mdisk + 19 ms + mL = 0.73345 kg
۲. فرمول مرکز جرم
xcm = (mL × r̄) / Mtotal
جایگذاری اعداد:
xcm = (0.01035 × 0.050835) / 0.73345 ≈ 0.000717 m ≈ 0.72 mm
۳. نمایش شماتیک مرکز جرم
یک نمایش متنی ساده نشان میدهد که مرکز جرم چگونه جابهجا شده است:
↑ محور دوران
│
●───▶○
│
▼
دندانه سنگینتر در جهت فلش قرار دارد.
در این شماتیک، نماد ● مرکز هندسی و نماد ○ مرکز جرم واقعی است.
فلش جهت جابهجایی مرکز جرم را نشان میدهد (به سمت دندانه سنگینتر).
۴. تفسیر مهندسی
مرکز جرم حدود ۰٫۷ میلیمتر از مرکز هندسی به سمت دندانه سنگینتر جابهجا شده است.
در سرعتهای بالا، همین مقدار کوچک میتواند باعث نیروی گریز از مرکز و لرزش شود.
برای جلوگیری از لرزش، طراحان از بالانس وزنی استفاده میکنند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.