ریاضیات

محاسبات دقیق مرکز جرم — چرخ‌دنده اینولوت (روش بخش حلقوی)

داده‌ها:

• شعاع گام R = 50 mm
• زاویه فشار φ = 20°
• شعاع پایه Rb = R cosφ = 46.98 mm
• شعاع رأس Ra = 54.5 mm
• ضخامت t = 10 mm
• چگالی فولاد ρ = 7850 kg/m³
• تعداد دندانه N = 20
• یک دندانه 10% سنگین‌تر (mL = 1.1 ms)

1. جرم دیسک تا شعاع پایه

Vdisk = π Rb² t = 6.937×10⁻⁵ m³

Mdisk = ρ Vdisk = 7850 × 6.937×10⁻⁵ = 0.5444 kg

2. جرم هر دندانه (تقریب بخش حلقوی)

Δθ = 2π/N = 0.31416 rad

Asector = ½ (Ra² − Rb²) Δθ = 1.198×10⁻⁴ m²

Vtooth = Asector × t = 1.198×10⁻⁶ m³

ms = ρ Vtooth = 7850 × 1.198×10⁻⁶ = 0.0094046 kg (≈ 9.40 g)

3. جرم کل

mL = 1.1 ms = 0.0103451 kg

Mteeth = 19 ms + mL = 0.189033 kg

Mtotal = Mdisk + Mteeth = 0.544416 + 0.189033 = 0.733449 kg

4. شعاع مرکز سطح دندانه (centroid)

r̄ = (2/3) (Ra³ − Rb³) / (Ra² − Rb²) = 0.050835 m (≈ 50.835 mm)

5. مرکز جرم کلی (تنها دندانه نامتقارن سهم دارد)

xcm = (mL × r̄) / Mtotal = (0.0103451 × 0.050835) / 0.733449 = 0.000717 m = 0.717 mm

ycm = 0

✅ نتیجه: مرکز جرم ≈ 0.72 میلی‌متر جابه‌جا شده است (به سمت دندانه سنگین‌تر).