ریاضیات

محاسبه دقیق جرم چرخ‌دنده واقعی

داده‌های اولیه:

• نوع چرخ‌دنده: ساده (Spur Gear)
• شعاع گام R = 50 mm
• زاویه فشار φ = 20°
• ضخامت t = 10 mm
• چگالی فولاد ρ = 7850 kg/m³
• تعداد دندانه‌ها = 20
• یک دندانه 10٪ سنگین‌تر از بقیه

1. محاسبه شعاع پایه

Rb = R × cos(φ) = 50 × cos(20°) = 46.98 mm

2. جرم بدنه (دیسک مرکزی)

جرم دیسک از رابطه زیر محاسبه می‌شود:

Vdisk = π × Rb² × t = π × (0.04698)² × 0.01 = 6.93×10⁻⁵ m³

Mdisk = ρ × Vdisk = 7850 × 6.93×10⁻⁵ = 0.543 kg

3. جرم یک دندانه استاندارد

ارتفاع دندانه از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

Ra = R + 2.25m = 50 + 4.5 = 54.5 mm

h = Ra − Rb = 7.52 mm

مساحت مقطع تقریبی هر دندانه:

b ≈ (π × R) / N = (3.1416 × 50) / 20 = 7.85 mm

Atooth ≈ ½ × b × h = 29.5 mm²

حجم و جرم هر دندانه:

Vtooth = Atooth × t = 29.5 × 10 = 295 mm³ = 2.95×10⁻⁷ m³

ms = ρ × Vtooth = 7850 × 2.95×10⁻⁷ = 0.00231 kg = 2.31 g

4. جرم کل دندانه‌ها

Mteeth = 19ms + 1.1ms = 20.1 × 0.00231 = 0.0464 kg

5. جرم کل چرخ‌دنده

Mtotal = Mdisk + Mteeth = 0.543 + 0.0464 = 0.5894 kg

6. جابجایی مرکز جرم

به دلیل سنگین‌تر بودن یک دندانه:

rcm = ((mL − ms) × R) / Mtotal

= ((0.00254 − 0.00231) × 0.05) / 0.5894 = 1.95×10⁻⁵ m = 0.0195 mm

✅ مرکز جرم تنها حدود ۰٫۰۲ میلی‌متر از مرکز هندسی چرخ‌دنده جابجا می‌شود.

نتیجه مهندسی

در چرخ‌دنده‌های فولادی سنگین، حتی دندانه‌های نامتقارن تأثیر بسیار کمی بر مکان مرکز جرم دارند.

در چرخ‌دنده‌های سبک‌تر (آلومینیومی یا پلاستیکی) این مقدار می‌تواند تا چند دهم میلی‌متر افزایش یابد.