ریاضیات

حرکت پرتابی و لاگرانژی

1️⃣ تعریف حرکت پرتابی

یک جسم با جرم m از نقطه‌ای با سرعت اولیه v₀ و زاویه θ پرتاب می‌شود و تحت نیروی گرانش حرکت می‌کند.

• مختصات: x(t), y(t)
• شتاب گرانش: g
• جرم: m

2️⃣ انرژی جنبشی و پتانسیل

انرژی جنبشی:

T = 1/2 m (ẋ² + ẏ²)

انرژی پتانسیل:

V = m g y

3️⃣ لاگرانژی

لاگرانژی = انرژی جنبشی - انرژی پتانسیل:

L(x, y, ẋ, ẏ) = 1/2 m (ẋ² + ẏ²) - m g y

4️⃣ معادلات حرکت با لاگرانژی

از معادله لاگرانژ:

d/dt (∂L/∂ẋ) - ∂L/∂x = 0
d/dt (∂L/∂ẏ) - ∂L/∂y = 0

برای حرکت پرتابی:

• برای x: ẍ = 0 → سرعت افقی ثابت
• برای y: ÿ = -g → شتاب عمودی برابر گرانش

5️⃣ نکات مهم

• لاگرانژی برای حرکت پرتابی کاملاً معنی دارد.
• با استفاده از لاگرانژی می‌توان مسیر، سرعت و شتاب را بدست آورد.
• اگر نیروهای دیگر مثل مقاومت هوا وجود داشته باشند، لاگرانژی را می‌توان تغییر داد و دوباره معادلات حرکت را استخراج کرد.

✅ جمع‌بندی

حرکت پرتابی مثال کلاسیک و ساده‌ای برای استفاده از مکانیک لاگرانژی است و نتایج آن با مکانیک نیوتنی کاملاً مطابقت دارد.