ریاضیات

تحلیل لاگرانژی قرقره مرکب

فرض کنید یک سیستم قرقره مرکب داریم:

• قرقره بزرگ: جرم M1، شعاع R1
• قرقره کوچک: جرم M2، شعاع R2
• جسم آویزان: جرم m
• ممان اینرسی قرقره‌ها: I1 = 1/2 M1 R1²، I2 = 1/2 M2 R2²
• مختصه عمومی: ارتفاع جسم y، با روابط y = R1 θ1 = R2 θ2

۱. انرژی جنبشی

جسم آویزان:

T_mass = 1/2 m ẏ²

قرقره بزرگ:

T_1 = 1/2 I_1 θ̇_1² = 1/2 · 1/2 M_1 R_1² · (ẏ/R_1)² = 1/4 M_1 ẏ²

قرقره کوچک:

T_2 = 1/2 I_2 θ̇_2² = 1/2 · 1/2 M_2 R_2² · (ẏ/R_2)² = 1/4 M_2 ẏ²

انرژی جنبشی کل:

T = 1/2 m ẏ² + 1/4 M_1 ẏ² + 1/4 M_2 ẏ² = 1/2 (m + M_1/2 + M_2/2) ẏ²

۲. انرژی پتانسیل

V = m g y

۳. لاگرانژ

L = T - V = 1/2 (m + M_1/2 + M_2/2) ẏ² - m g y

۴. معادله لاگرانژ

∂L/∂ẏ = (m + M_1/2 + M_2/2) ẏ

d/dt (∂L/∂ẏ) = (m + M_1/2 + M_2/2) ẏ̈

∂L/∂y = - m g

(m + M_1/2 + M_2/2) ẏ̈ + m g = 0

ẏ̈ = - m g / (m + M_1/2 + M_2/2)

۵. نکات مهم

• هر چه مجموع جرم قرقره‌ها بیشتر باشد، شتاب جسم کمتر می‌شود.
• می‌توان این تحلیل را برای چندین قرقره یا سیستم مرکب پیچیده‌تر گسترش داد.
• اگر قرقره‌ها جرم نداشته باشند، شتاب جسم برابر g خواهد بود.