ریاضیات

تحلیل لاگرانژی یک قرقره با جرم

فرض کنید یک قرقره با جرم M و شعاع R داریم و یک جسم با جرم m به طناب آن آویزان است. قرقره می‌تواند بچرخد و ممان اینرسی آن I = 1/2 M R² است.

۱. انرژی جنبشی

جسم آویزان:

Tmass = 1/2 m ẏ²

قرقره با اینرسی:

Tpulley = 1/2 I θ̇² = 1/2 · 1/2 M R² · θ̇² = 1/4 M R² θ̇²

با توجه به

y = R θ → θ̇ = ẏ / R

Tpulley = 1/4 M ẏ²

انرژی جنبشی کل:

T = 1/2 m ẏ² + 1/4 M ẏ² = 1/2 (m + M/2) ẏ²

۲. انرژی پتانسیل

V = m g y

۳. لاگرانژ

L = T - V = 1/2 (m + M/2) ẏ² - m g y

۴. معادله لاگرانژ

∂L/∂ẏ = (m + M/2) ẏ → d/dt (∂L/∂ẏ) = (m + M/2) ẏ̈

∂L/∂y = - m g

→ معادله حرکت:

(m + M/2) ẏ̈ + m g = 0

→ شتاب جسم:

ẏ̈ = - m g / (m + M/2)

۵. نکات مهم

• اگر M = 0 (قرقره جرم ندارد)، ẏ̈ = - g
• هر چه جرم قرقره بیشتر باشد، شتاب جسم کمتر می‌شود.
• می‌توان سیستم‌های چند قرقره یا قرقره مرکب را مشابه تحلیل کرد و انرژی جنبشی هر قرقره را به لاگرانژ اضافه نمود.