توسط علی رضا نقش نیلچی
| پنجشنبه شانزدهم بهمن ۱۴۰۴ | 20:49
روش واریاسیون — تابع آزمون نمایی برای نوسانگر هارمونیک
انتخاب تابع آزمون:
ψ_β(x) = √β · e^{−β|x|}
نرمالیزاسیون
∫|ψ|² dx = β ∫_{−∞}^{∞} e^{−2β|x|} dx = 1
محاسبات انتظارات
〈x²〉 = 1 / (2 β²)
〈T〉 = (ħ² / 2m) β²
〈V〉 = (m ω²) / (4 β²)
انرژی میانگین
E(β) = (ħ² / 2m) β² + (m ω²) / (4 β²)
مینیممسازی
dE/dβ = 0 ⇒ β² = m ω / (√2 ħ)
نتیجهٔ مینیممشده:
E_min = ħ ω / √2 ≈ 0.7071 ħω
مقایسه: انرژی دقیق حالت پایه = ħω/2 ≈ 0.5 ħω → تابع آزمون نمایی حدود 41.4٪ بدتر است.
خلاصه
این محاسبه نشان میدهد که انتخاب تابع آزمون مناسب در روش واریاسیون اهمیت دارد؛ گوسیِ پارامتریک برای مسئلهٔ هارمونیک بهترین انتخاب است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.