توسط علی رضا نقش نیلچی
| پنجشنبه شانزدهم بهمن ۱۴۰۴ | 20:43
اصل وردش در آونگ ساده
در این مثال از اصل کمترین کنش استفاده میکنیم تا معادلهٔ حرکت آونگ ساده را استخراج کنیم.
این روش نشان میدهد چگونه قانون نیوتون از دیدگاه لاگرانژی حاصل میشود.
۱) تعریف سیستم
جرم m به طول نخ l آویزان است و زاویهٔ انحراف از حالت قائم θ(t) است.
۲) انرژیها
T = ½ m l² (θ̇)²
V = m g l (1 − cosθ)
۳) لاگرانژی کل
L = T − V = ½ m l² (θ̇)² − m g l (1 − cosθ)
۴) اصل کمترین کنش
S = ∫ L(θ, θ̇) dt
با δS = 0 داریم معادلهٔ اویلر–لاگرانژ:
(d/dt)(∂L/∂θ̇) − ∂L/∂θ = 0
۵) محاسبات
∂L/∂θ̇ = m l² θ̇
(d/dt)(∂L/∂θ̇) = m l² θ̈
∂L/∂θ = −m g l sinθ
جایگذاری:
m l² θ̈ + m g l sinθ = 0
۶) نتیجهٔ نهایی
معادلهٔ حرکت آونگ ساده:
θ̈ + (g / l) sinθ = 0
برای زاویههای کوچک، sinθ ≈ θ و حرکت نوسانی هماهنگ میشود با دورهٔ تناوب:
T = 2π √(l / g)
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.