مسئلهٔ براکیستوکرون — مسیر زمان‌کمینه (سیکلوئید)

در این نوشته اثبات کلاسیک مسئلهٔ براکیستوکرون را گام‌به‌گام می‌آوریم:

مسیر «زمان‌کمینه» برای یک ذرهٔ بدون اصطکاک که از نقطهٔ A(0,0) به نقطهٔ B(x_1,y_1) زیر گرانش یکنواخت g حرکت می‌کند، چیست؟

نتیجهٔ کلاسیک: مسیر زمان‌کمینه یک سیکلوئید است.

۱) نوشتن زمان عبور به‌صورت تابعی از منحنی

با استفاده از اصل تبدیل انرژی، سرعت لحظه‌ای ذره در ارتفاع y برابر است با:

عنصر زمان را داریم:

پس تابع زمان کل مسیر (از x₁ تا x₂) برابر است با:

برای سادگی ثابت 1/√(2g) را خارج می‌کنیم و روی لاگرانژی داخلی تمرکز می‌کنیم؛ شکل مسیر مستقل از g است.

۲) لاگرانژی مؤثر و استفاده از بل-بلا (Beltrami)

تابع زیر را تعریف کنیم (عامل ثابت را حذف می‌کنیم):

از آنجا که L صریحاً به x وابسته نیست، انتگرال اول بل-بلا برقرار است:

محاسبهٔ ∂L/∂y':

بنابراین

از این رابطه نتیجه می‌شود:

۳) از y' به dx/dy و پارامتری‌سازی

از معادلهٔ بالا داریم:

پس

برای حل این انتگرال از جای‌گذاری پارامتریک استفاده می‌کنیم. بگذار:

سپس

با جای‌گذاری و ساده‌سازی انتگرال dx، بعد از محاسبات جبری می‌رسیم به فرم پارامتریکِ سیکلوئید:

اگر مبدأ را طوری انتخاب کنیم که در φ = 0 نقطهٔ شروع (0,0) باشد، ثابت‌ها صفر می‌شوند و معادلات بالا به صورت استاندارد درمی‌آیند.

۴) نتیجهٔ نهایی

۵) نکات تکمیلی و تفسیر

• شکل مسیر مستقل از اندازهٔ g است؛ g فقط زمان کلی را مقیاس می‌دهد (T ∝ 1/√g).
• این نتیجه کلاسیک نخستین بار توسط ژاکوبری (Johann Bernoulli) ارائه شد و یک مسئلهٔ مشهور در تئوری وردش است.
• برای پیاده‌سازی عددی: با فرض φ₁ و R مناسب می‌توان x(φ) و y(φ) را محاسبه و مقدار زمان را محاسبه کرد.

۶) خلاصهٔ فشرده