توسط علی رضا نقش نیلچی
| پنجشنبه شانزدهم بهمن ۱۴۰۴ | 20:33
مثال از وردش: کوتاهترین مسیر بین دو نقطه
در این مثال میخواهیم با استفاده از اصل وردش، مسیر بین دو نقطه را طوری بیابیم که
طول آن کمینه باشد. این مسئله در فیزیک با نام «اصل فرما» یا «اصل کمترین کنش» نیز شناخته میشود.
۱) تابع طول مسیر
S = ∫x₁x₂ √(1 + (dy/dx)²) dx
۲) تابع لاگرانژی
L = √(1 + (y')²)
۳) معادلهٔ اویلر–لاگرانژ
(d/dx)(∂L/∂y') − ∂L/∂y = 0
چون L به y وابسته نیست، پس داریم:
d/dx ( y'/√(1+(y')²) ) = 0
۴) حل و نتیجه
y'/√(1+(y')²) = C ⇒ y' = k ⇒ y = kx + b
که نشان میدهد منحنی با طول کمینه، خط راست است.
نتیجه نهایی: کوتاهترین مسیر بین دو نقطه در صفحه، یک خط مستقیم است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.