ریاضیات

وردش عمل (Variation of Action) — مثال‌های دو درجه آزادی و حرکت ۲ بعدی

مثال ۱: دو جرم متصل با دو فنر

سیستم شامل دو جرم m₁ و m₂ است که با دو فنر به یکدیگر و به دیواره متصل‌اند.

T = ½ m₁ ẋ₁² + ½ m₂ ẋ₂²

U = ½ k₁ x₁² + ½ k₂ (x₂ - x₁)²

L = T - U

اعمال وردش

x₁(t) → x₁ + δx₁, x₂(t) → x₂ + δx₂

δx₁(t₁)=δx₁(t₂)=δx₂(t₁)=δx₂(t₂)=0

δS = ∫ [ m₁ ẋ₁ δẋ₁ + m₂ ẋ₂ δẋ₂ - k₁ x₁ δx₁ - k₂ (x₂ - x₁)(δx₂ - δx₁) ] dt

m₁ ẍ₁ + k₁ x₁ - k₂ (x₂ - x₁) = 0

m₂ ẍ₂ + k₂ (x₂ - x₁) = 0

مثال ۲: ذره در میدان مرکزی (حرکت ۲ بعدی)

ذره‌ای با جرم m در میدان گرانشی یا الکترواستاتیک مرکزی حرکت می‌کند.

مختصات قطبی: r(t), θ(t)

L = ½ m ( ṙ² + r² θ̇² ) - U(r)

اعمال وردش

r(t) → r + δr, θ(t) → θ + δθ

δr(t₁)=δr(t₂)=δθ(t₁)=δθ(t₂)=0

δS = ∫ [ m ṙ δṙ + m r² θ̇ δθ̇ + 2 m r θ̇² δr - dU/dr δr ] dt

شرط مینیمم عمل

m r̈ - m r θ̇² + dU/dr = 0

d/dt ( m r² θ̇ ) = 0 → حفظ تکانه زاویه‌ای

نتیجه

با استفاده از وردش عمل، معادلات حرکت سیستم‌های چند درجه آزادی و حرکت دو بعدی به سادگی استخراج شد، بدون نیاز به تحلیل مستقیم نیروها.